Với \(m=-2\) ko thỏa mãn

Với \(m\ne-2\) hàm \(f\left(x\right)\) là bậc nhất trên bậc nhất nên luôn đơn điệu trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow\) min max rơi vào 2 đầu mút

\(f\left(2\right)=m+4\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{m+6}{2}\)

\(\Rightarrow\left|m+4-\dfrac{m+6}{2}\right|=2\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow m+2=\pm4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\end{matrix}\right.\)

Tại sao m = -2 lại không thỏa mãn ạ?

Lời giải: 

Với $x>1$

$f(x)=m(x^2+2x+1)-2x+3>0\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}$

$\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}(\max)$ khi $x>1$

Xét $g(x)=\frac{2x-3}{(x+1)^2}$ với $x>1$

$g(x)=\frac{2(x+1)-5}{(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}-\frac{5}{(x+1)^2}=\frac{1}{5}-5(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{5})^2\leq \frac{1}{5}$ với mọi $x>1$

Do đó: $m>\frac{1}{5}$

a: \(y=\frac13\left(m-1\right)\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+\left(m-3\right)x+2\)

=>y'=\(\frac13\left(m-1\right)\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m-3\right)\)

\(=\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3\)

Đặt y'=0

=>\(\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3=0\) (1)

TH1: m=1

(1) sẽ trở thành:

\(\left(1-1\right)\cdot x^2-\left(2\cdot1-2\right)x+1-3=0\)

=>-2=0(vô lý)

=>Phương trình vô nghiệm

TH2: m<>1

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4\left(m^2-4m+3\right)=4m^2-8m+4-4m^2+16m-12=8m-8\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì 8m-8>0

=>m>1

Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>8m-8>0 và (m-3)/(m-1)>0

=>m>1 và (m>3 hoặc m<1)

=>m>3

b: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m-3)<0

=>1<m<3

c: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)

=>\(2^2-4\cdot\frac{m-3}{m-1}=2\)

=>\(4\cdot\frac{m-3}{m-1}=4-2=2\)

=>4(m-3)=2(m-1)

=>2(m-3)=m-1

=>2m-6=m-1

=>2m-m=-1+6

=>m=5(nhận)

d: Để y'>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>8m-8<=0 và m-1>0

=>8m<=8 và m>1

=>m∈∅

e: Để y'<=0 với mọi x thì Δ<=0 và a<0

=>8m-8<=0 và m-1<0

=>m<1