a) Thay m=-2 vào pt (1)

=> \(x^2-2x+1\)=0

<=> x=1

b) x₁,x₂ là 2 nghiệm của pt

=> \(\Delta\ge0\)

<=> \(m^2-4\left(-2m-3\right)\ge0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m\le-6\\m\ge-2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(x_1+x_2=-m\)(1)

\(x_1.x_2=-2m-3\)(2)

Từ (1) => \(m=-x_1-x_2\) Thay vào (2) ta có:

\(x_1.x_2=-2\left(-x_1-x_2\right)-3\)

<=> \(2x_1+2x_2-x_1.x_2-3=0\)

Vậy hệ thức trên k phụ thuộc vào m

a,Với \(m=2\)thì phương trình trên tương đương với :

\(x^2-4x-4+12-5=0\)

\(< =>x^2-4x+3=0\)

Ta dễ dàng nhận thấy : \(1-4+3=0\)

Nên phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt là \(\hept{\begin{cases}x_1=1\\x_2=3\end{cases}}\)

b,Để phương trình luôn có nghiệm : \(\Delta\ge0\)

\(< =>\left(-4\right)^2-4\left(-m^2+6m-5\right)\ge0\)

\(< =>16+4m^2-24m+20\)

\(< =>\left(2m\right)^2-2.2.m.6+6^2=\left(2m-6\right)^2\ge0\)(đúng)

c,Theo bất đẳng thức AM-GM thì :

\(x_1^3+x_2^3\ge2\sqrt[2]{x_1^3x_2^3}=2x_1x_2\)

Nên ta được : \(P\ge2x_1x_2\)

Mặt khác theo hệ thức Vi ét thì : \(x_1x_2=-m^2+6m-5\)

\(< =>P\ge-2m^2+12m-10\)

\(< =>P\ge-\left(\sqrt{2}m\right)^2+2\left(-\sqrt{2}m\right)\left(-\sqrt{18}\right)+\left(-\sqrt{18}\right)^2\)

\(< =>P\ge\left[-\sqrt{2}m.\left(-\sqrt{18}\right)\right]^2-28\)

Đẳng thức xảy ra khi  và chỉ khi \(m=0\)

Vậy \(Min_P=-28\)khi \(m=0\)

x² - 4x - m² + 6m - 5 = 0

Với m = 2 ta có :

x² - 4x - m² + 6m - 5 = 0

<=> x² - 4x - 2² + 2.6 - 5 = 0

<=> x² - 4x - 4 + 12 - 5 = 0

<=> x² - 4x + 3 = 0

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\)

\(\Delta>0\)nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=3\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=1\)

Bài 2:

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM⊥AC tại M

Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔBNA vuông tại N

=>BN⊥AD tại N

Xét ΔABC vuông tại B có BM là đường cao

nên \(AM\cdot AC=AB^2=4R^2\) không đổi

b: Xét ΔABD vuông tại B có BN là đường cao

nên \(AN\cdot AD=AB^2\)

=>\(AM\cdot AC=AN\cdot AD\)

=>\(\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{AC}\)

Xét ΔAMN và ΔADC có

\(\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{AC}\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔADC

=>\(\hat{AMN}=\hat{ADC}\)

mà \(\hat{AMN}+\hat{CMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CMN}+\hat{CDN}=180^0\)

=>CMND là tứ giác nội tiếp

Bài 1:

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4m^2-16m-12=4m^2+8m+4-4m^2-16m-12\)

=-8m-8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-8(m+1)>0

=>m+1<0

=>m<-1

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2\left(m+1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+4m+3\)

\(A=x_1x_2-2x_1-2x_2\)

\(=m^2+4m+3-2\left(x_1+x_2\right)\)

\(=m^2+4m+3-2\cdot\left(-2\right)\cdot\left(m+1\right)=m^2+4m+3+4m+4\)

\(=m^2+8m+7=\left(m+4\right)^2-9\ge-9\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+4=0

=>m=-4(nhận)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m^3-\left(m+1\right)^2=m^3-4m\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^3+\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1+x_2\le4\Rightarrow m-1\le2\Rightarrow m\le3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le m\le3\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3+8x_1x_2\)

\(=8\left(m-1\right)^3+8\left[-m^3+\left(m+1\right)^2\right]\)

\(=8\left(5m-2m^2\right)\)

\(P=8\left(5m-2m^2-2+2\right)=16-8\left(m-2\right)\left(2m-1\right)\le16\)

\(P_{max}=16\) khi \(m=2\)

\(P=8\left(5m-2m^2+18-18\right)=8\left(9-2m\right)\left(m+2\right)-144\ge-144\)

\(P_{min}=-144\) khi \(m=-2\)

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Bài 1: 

a) Thay m=3 vào (1), ta được:

\(x^2-4x+3=0\)

a=1; b=-4; c=3

Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3\)

Bài 2: 

a) Thay m=0 vào (2), ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

hay x=1

Sửa đề: \(\left(m+3\right)x^2-2\left(m^2+3m\right)x+m^3+12=0\) (1)

TH1: m=-3

(1) sẽ trở thành:

\(\left(-3+3\right)x^2-2\left\lbrack\left(-3\right)^2+3\cdot\left(-3\right)\right\rbrack x+\left(-3\right)^3+12=0\)

=>-27+12=0

=>-15=0(vô lý)

TH2: m<>-3

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m^2+3m\right)\right\rbrack^2-4\left(m+3\right)\left(m^3+12\right)\)

\(=4\left(m^4+6m^3+9m^2\right)-4\left(m^4+12m+3m^3+36\right)\)

\(=4\left(m^4+6m^3+9m^2-m^4-3m^3-12m-36\right)=4\left(3m^3+9m^2-12m-36\right)\)

\(=4\left\lbrack3m^2\left(m+3\right)-12\left(m+3\right)\right\rbrack=12\left(m+3\right)\left(m^2-4\right)=12\left(m+3\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>(m+3)(m-2)(m+2)>0

Đặt A=(m+3)(m-2)(m+2)

Đặt m+3=0

=>m=-3

Đặt m-2=0

=>m=2

Đặt m+2=0

=>m=-2

Bảng xét dấu:

A>0

=>-3<m<-2 hoặc m>2

=>Giá trị nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn là m=3

a/ Bạn tự giải

b/ Thay \(x=1+\sqrt{2}\) vào:

\(\left(1+\sqrt{2}\right)^2-\left(m+6\right)\left(1+\sqrt{2}\right)+3m+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)m+6-4\sqrt{2}=0\)

\(\Rightarrow m=\frac{4\sqrt{2}-6}{2-\sqrt{2}}=-2+\sqrt{2}\)

c/ Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên \(x^2_1-\left(m+6\right)x_1+3m+9=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2=\left(m+6\right)x_1-3m-9\)

Mặt khác, theo Viet ta có: \(x_1+x_2=m+6\)

Thế vào bài toán:

\(x_1^2+\left(m+6\right)x_2-m^2-9m\)

\(=\left(m+6\right)x_1-3m-9+\left(m+6\right)x_2-m^2-9m\)

\(=\left(m+6\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-12m-9\)

\(=\left(m+6\right)^2-m^2-12m-9\)

\(=m^2+12m+36-m^2-12m-9\)

\(=27\)

Vậy giá trị của biểu thức là hằng số ko phụ thuộc m

Thay m=-5 vào (1), ta được:

\(x^2-2x-5-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)