- Với \(x\ge0\Rightarrow x^2+x+m=1\)

\(\Leftrightarrow-x^2-x+1=m\)

Xét \(f\left(x\right)=-x^2-x+1\) khi \(x\ge0\)

\(a=-1< 0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

- Với \(x< 0\) \(\Rightarrow-x^2-x+m=1\Leftrightarrow x^2+x+1=m\)

Xét \(g\left(x\right)=x^2+x+1\) khi \(x< 0\)

\(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2};f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\) 

Hàm nghịch biến khi \(x< -\dfrac{1}{2}\) và đồng biến khi \(-\dfrac{1}{2}< x< 0\)

Do đó ta có BBT như sau:

x -vc -1/2 0 +vc f(x) -3/4 1

Từ BBT ta thấy pt có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m=1\)

(Với \(m=-\dfrac{3}{4}\) pt cũng có 2 nghiệm nhưng 1 trong 2 nghiệm là nghiệm kép)

Ta có: \(\vert{}x^2 - 3x - 3 + m\vert{} = x + 1\) (*)

=>\(\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 3x - 3 + m = x + 1 \\ &x^2 - 3x - 3 + m = -(x + 1) \end{aligned} \right. \end{cases}\)

\(\iff\begin{cases}x\ge-1\\ \left[\begin{aligned} & m=-x^2+4x+4\quad(1)\\ & m=-x^2+2x+2\quad(2)\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì tổng số nghiệm x>=-1 của (1) và (2) phải đúng bằng 3

(1): \(m = -x^2 + 4x + 4\)

Xét hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x + 4\) với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac42=2\\ y=-2^2+4\cdot2+4=-4+4+8=8\end{cases}\)

\(f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1\)

(2): \(m=-x^2+2x+2\)

Xét hàm số \(g(x) = -x^2 + 2x + 2\) , với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1\\ y=-1^2+2\cdot1+2=-1+2+2=3\end{cases}\)

\(g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1\)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y=m với (P1): y=-x^2+4x+4 và (P2): y=-x^2+2x+2

TH1: m>8

Theo hình vẽ, ta thấy khi m>8 thì đường thẳng y=m nằm hoàn toàn phía trên cả hai đỉnh parabol (đỉnh cao nhất là 8).

=>(*) vô nghiệm

=>Loại

TH2: m=8

Khi đó, đường thẳng y=m=8 chỉ cắt đúng đỉnh của (P1) và nằm hoàn toàn phía trên của (P2)

=>(*) có duy nhất 1 nghiệm

=>Loại

TH3: 3<m<8

Khi đó, đường thẳng y=m nằm dưới đỉnh của (P1) và nằm phía trên của (P2)

=>(*) có 2 nghiệm

=>Loại

TH4: m=3

Đường thẳng y=m=3 đi qua đỉnh của (P2) và cắt ngang qua (P1), tức sẽ có 2+1=3 nghiệm

=>Nhận

TH5: -1<m<3

=>Đường thẳng y = m cắt ngang qua cả hai parabol ở vùng phía trên điểm biên -1

=>(*) có 2+2=4 nghiệm

=>Loại

TH6: m=-1

=>Đường thẳng y=-1 đi qua đúng điểm biên bắt đầu của cả hai đồ thị (điểm chung duy nhất là điểm A(-1;-1)

(1) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+4x+4=-1\)

=>\(-x^2+4x+5=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>x=5 hoặc x=-1

(2) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+2x+2=-1\)

=>\(-x^2+2x+3=0\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

Do đó: (*) có 3 nghiệm phân biệt x∈{5;-1;3}

=>Nhận

TH7: m<-1

=>Đường thẳng y=m sẽ nằm hoàn toàn ở phía dưới điểm biên A(-1;-1)

Khi đó, y=m chỉ có thể cắt (P1) và (P2) tại tối đa 2 điểm ở hai đồ thị

=>(*) chỉ có thể có tối đa 2 nghiệm

=>Loại

\(\text{Δ}=\left(-8\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\cdot\left(m-1\right)\)

\(=64+12\left(m-1\right)\)

=64+12m-12

=12m+52

a: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 7 thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8< 14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-\dfrac{13}{4}\)

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 7 thì \(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8>14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

a, Với m=2

\(Pt\Leftrightarrow x^2-8x+9=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-4=\sqrt{7}\\x-4=-\sqrt{7}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{7}+4\\x=-\sqrt{7}+4\end{cases}}\)

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{7}+4\\x=-\sqrt{7}+4\end{cases}}\)

Trường hợp 1: m=10

Phương trình sẽ là -40x+6=0

hay x=3/20

=>m=10 sẽ thỏa mãn trường hợp a

Trường hợp 2: m<>10

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\left(m-10\right)\left(m-4\right)\)

\(=16m^2-4\left(m^2-14m+40\right)\)

\(=16m^2-4m^2+56m-160\)

\(=12m^2+56m-160\)

\(=4\left(3m^2+14m-40\right)\)

\(=4\left(3m^2-6m+20m-40\right)\)

\(=4\left(m-2\right)\left(3m+20\right)\)

a: Để phương trình có nghiệm thì (m-2)(3m+20)>=0

=>m>=2 hoặc m<=-20/3

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\\dfrac{4m}{m-10}>0\\\dfrac{m-4}{m-10}>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\m\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(10;+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;4\right)\cup\left(10;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-\dfrac{20}{3}\right)\cup\left(10;+\infty\right)\)