Để pt có 2 nghiệm pb khi \(\Delta>0\)

\(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\left(-4m-12\right)=4m^2+8m+4+16m+48\)

\(=4m^2+24m+52=4m^2+2.2m.6+36+16=\left(2m+6\right)^2+16>0\)

Vậy ta có đpcm 

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m+2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-4m-12\end{cases}}\)

Ta có : \(x_1-x_2=4\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=16\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=16\)(*)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=4m^2+8m+4\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4m^2+8m+4-2\left(-4m-12\right)\)

\(=4m^2+16m+28\)

Thay vào (*) ta được : \(4m^2+16m+28-2\left(-4m-12\right)=16\)

\(\Leftrightarrow4m^2+24m+52=0\Leftrightarrow m=-3\pm2i\)

a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)

\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)

b, ĐK: \(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)

Khi đó phương trình tương đương:

\(3t-t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)

Đặt \(x^2=t\left(t>0\right)\)

\(pt\Leftrightarrow t^2-2\left(m+1\right)t+4m=0\left(1\right)\)

Để pt có 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\Delta'=m^2+2m+1-4m>0\\x_1+x_2=2\left(m+1\right)>0\\x_1.x_2=4m>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)^2>0\\m>-1\\m>0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne1\\m>0\end{cases}}\)

giả sử \(\hept{\begin{cases}x_1^2=x_2^2=t_1\\x_3^2=x_4^2=t_2\end{cases}\Rightarrow2x_1^2}+2x_3^2=12\)

\(\Leftrightarrow2\left(t_1+t_2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow2.2\left(m+1\right)=12\Leftrightarrow m+1=3\Leftrightarrow m=2\) (TM)

Vậy m=2 thì pt có 4 nghiệm pb

có ai giúp e ko ạ

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3-\left(m+3\right)x^2-4x^3+8x^2+4\left(m+3\right)x+mx^2-2mx-m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2x-m-3\right)-4x\left(x^2-2x-m-3\right)+m\left(x^2-2x-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+m\right)\left(x^2-2x-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x+m=0\\x^2-2x-m-3=0\end{matrix}\right.\)

Pt có 4 nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=4-m\ge0\\\Delta'_2=1+m+3\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le4\)

a: Phương trình có dạng ax+b=0 khi a<>0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình 2x-5=2x+3 là phương trình bậc nhất một ẩn

c: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm

1: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:

\(\begin{cases}2x+1=x+2\\ y=x+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-x=2-1\\ y=x+2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=1\\ y=1+2=3\end{cases}\)

Thay x=1 và y=3 vào (d3), ta được:

\(\left(m^2+2\right)\cdot1-2m+1=3\)

=>\(m^2+2-2m+1=3\)

=>\(m^2-2m=0\)

=>m(m-2)=0

=>m∈{0;2}

ĐKXĐ: x∉{-2;1}

\(\frac{x^2-2x+1}{x^2+4x+4}-m\cdot\left|\frac{x+2}{x-1}\right|=12\)

=>\(\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2-m\cdot\left|\frac{x+2}{x-1}\right|=12\) (1)

Đặt \(t=\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\)

(1) sẽ trở thành: \(\frac{1}{t^2}-m\cdot t=12\)

=>\(1-m\cdot t^3=12t^2\)

=>\(m\cdot t^3=1-12t^2\)

=>\(m = \frac{1 - 12t^2}{t^3} = \frac{1}{t^3} - \frac{12}{t}\)

Đặt \(f(t) = \frac{1}{t^3} - \frac{12}{t}\) (với t∈(0;+∞))

\(f^{\prime}(t)=-\frac{3}{t^4}+\frac{12}{t^2}=\frac{12t^2 - 3}{t^4}\)

Đặt f'(t)=0

=>\(12t^2-3=0\)

=>\(t^2=\frac14\)

=>t=1/2(nhận) hoặc t=-1/2(loại)

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} - \frac{12}{\frac{1}{2}} = 8 - 24 = -16\)

\(f(1) = 1 - 12 = -11\)

\(\lim_{t \to 0^+} f(t) = +\infty\)

\(\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0\)

Bảng biến thiên:

Để f(t)=m có hai nghiệm phân biệt và t<>1 thì Đường thẳng y = m phải cắt đồ thị f(t) tại 2 điểm phân biệt thuộc (0; +∞)\{1}

THeo bảng biến thiên, chúng ta thấy: f(t) giảm từ +∞ xuống -16, rồi tăng lên 0. và Đường thẳng y = m cắt nhánh đồ thị 2 lần khi -16 < m < 0.

mà ta cần loại giá trị m tương ứng với t = 1, tức là m<>f(1)=-11

=>-16<m<0 và m<>-11