Câu 1: \(P=3\cdot\sin x+4\cdot cosx\)

\(=5\cdot\left(\frac35\cdot\sin x+\frac45\cdot cosx\right)\)

\(=5\cdot\sin\left(x+\alpha\right)\) , với cos α=3/5; sin α=4/5

\(-1\le\sin\left(x+\alpha\right)\le1\)

=>\(-5\le5\sin\left(x+\alpha\right)\le5\)

=>-5<=P<=5

=>P max=5

Câu 2: \(P=\left(\sin^2x-1\right)\cdot\tan^2x+\left(cos^2x-1\right)\cdot\cot^2x\)

\(=\left(\sin^2x-\sin^2x-cos^2x\right)\cdot\frac{\sin^2x}{cos^2x}+\left(cos^2x-cos^2x-\sin^2x\right)\cdot\frac{cos^2x}{\sin^2x}\)

\(=-cos^2x\cdot\frac{\sin^2x}{cos^2x}-\sin^2x\cdot\frac{cos^2x}{\sin^2x}\)

\(=-\sin^2x-cos^2x=-1\)

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+\left(2m-3\right)sinx+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-\left(2m-3\right)sinx-m+1=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-2\left(m-1\right)sinx-\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx+1\right)-\left(m-1\right)\left(2sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx+1\right)\left(sinx-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-\dfrac{1}{2}\\sinx=m-1\end{matrix}\right.\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne-\dfrac{1}{2}\\-1\le m-1\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\0\le m\le2\end{matrix}\right.\)

Sửa đề: Trên đoạn [-pi/4;pi/4]

x∈[-pi/4;pi/4]

=>cosx>0

Đặt t=tan x

x∈[-pi/4;pi/4]

=>t∈[-1;1]

\(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x = 1 + t^2\)

\(2\sin^2x-\sin x\cos x-m\cos^2x=1\quad\)

=>\(\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{m\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\)

=>\(2t^2 - t - m = 1 + t^2\)

\(\Leftrightarrow t^2 - t - 1 = m\)

Xét hàm số \(f(t) = t^2 - t - 1\) trên đoạn t∈[-1;1]

Hoành độ đỉnh của f(t) là \(t = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \in [-1; 1]\)

\(f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1\)

\(f(1) = 1^2 - 1 - 1 = -1\)

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}\)

=>Tập giá trị của f(t) trên đoạn [-1;1] là [-5/4;1]

=>Để phương trình ban đầu có nghiệm trên đoạn [-1;1] thì -5/4<=m<=1

mà m nguyên

nên m∈{-1;0;1}

=>Có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn

1.

ĐKXĐ: \(1-x^2>0\Leftrightarrow0< x< 1\)

Pt tương đương:

\(x=5-2m\)

Pt có nghiệm khi và chỉ khi: 

\(0< 5-2m< 1\) \(\Leftrightarrow2< m< \dfrac{5}{2}\)

2.

\(M=\dfrac{\dfrac{sina.cosa}{cos^2a}}{\dfrac{sin^2a}{cos^2a}-\dfrac{cos^2a}{cos^2a}}=\dfrac{tana}{tan^2a-1}=\dfrac{\left(-\dfrac{2}{3}\right)}{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2-1}=-\dfrac{6}{5}\)

Đáp án D

Đáp án C

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá số nghiệm của phương trình.

Vậy, có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lý thuyết đồ thị:

Phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)_{min}\le m\le f\left(x\right)_{max}\)

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của pt lương giác bậc nhất (tùy bạn)

a.

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1-cos2x\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le m\le1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b.

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\left(1-cos2x\right)-sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x+\dfrac{3}{2}cos2x-\dfrac{3}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}sin2x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}cos2x\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Đặt \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}sin\left(2x+a\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2}\le m\le\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}\)

a) \(\sqrt{3}\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\) ↔ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{1}{2}sin2x=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

→\(\sqrt{3}cos2x+sin2x=2m-\sqrt{3}\) ↔ \(2cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=2m-\sqrt{3}\)

→\(cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le1\) 

b)  \(\left(3+m\right)sin^2x-2sinx.cosx+mcos^2x=0\)

 cosx=0→ sinx=0=> vô lý 

→ sinx#0 chia cả 2 vế của pt cho cos²x ta đc:

\(\left(3+m\right)tan^2x-2tanx+m=0\)

pt có nghiệm ⇔ △^' ≥0

Tự giải phần sau 

c) \(\left(1-m\right)sin^2x+2\left(m-1\right)sinx.cosx-\left(2m+1\right)cos^2x=0\) 

⇔cosx=0→sinx=0→ vô lý

⇒ cosx#0 chia cả 2 vế pt cho cos²x

\(\left(1-m\right)tan^2x+2\left(m-1\right)tanx-\left(2m+1\right)=0\)

pt có nghiệm khi và chỉ khi △^' ≥ 0

Tự giải