Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² = - (1)

Thay OA = , AB = a, AD = BC = b và BD = m vào (1) ta có:
\(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{m^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

A B C D a b n m

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

\(AD=BC=\frac{AB}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC=AD=BC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có AM=AD
nên AMND là hình thoi

b: Xét tứ giác MBND có

MB//ND

MB=ND

Do đó: MBND là hình bình hành

c: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(1)

MBND là hình bình hành

=>MN cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,MN đồng quy

Gọi giao điểm của AC và BD là O

Ta có: \(OB^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\) \(4OB^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\) (Do \(4OB^2=\left(2OB\right)^2\) mà 2OB = BD)

\(\Leftrightarrow\) \(m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\) (đpcm)

Chúc bn học tốt!

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² =  – 

Thay OA =  , AB = a

AD = BC = b và BD = m => dpcm

- Gọi E là giao điểm của AC và BD

△ABE có trung tuyến BE

\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow4.BE^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)

Mà O là trung điểm BD \(\Rightarrow BD=2.BE\Rightarrow BD^2=4.BE^2\)

\(\Rightarrow BD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)

\(\Rightarrow BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)

Vậy: \(AC^2+BD^2=2\left(a^2+b^2\right)\left(đpcm\right)\)

(Hình như đây là Toán 10?)

Lời giải:
Kẻ đường cao $BH, DT$ của hình bình hành

Dễ chứng minh $\triangle ADT =\triangle BCH$ (ch-gn)

$\Rightarrow DT=CH; AT=BH$

Áp dụng định lý Pitago:

$AC^2+BD^2=AT^2+TC^2+BH^2+DH^2$

$=(AT^2+BH^2)+TC^2+DH^2)$

$=2AT^2+(DC-DT)^2+(DC+CH)^2$

$=2(AD^2-DT^2)+(DC-DT)^2+(DC-DT)^2$

$=2(b^2-DT^2)+(a-DT)^2+(a+DT)^2$

$=2(b^2+a^2)$

Ta có đpcm.

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

\(DA=BC=\frac{AB}{2}\)

mà AB=CD
nên AM=MB=DN=NC=DA=BC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có AM=AD

nên AMND là hình thoi

b: Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

c: BMDN là hình bình hành

=>BD cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,MN đồng quy

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: BC=AC

BC=AD

Do đó: AC=AD

=>ΔACD cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI⊥CD

Xét ΔMID vuông tại I và ΔMIC vuông tại I có

MI chung

ID=IC

Do đó: ΔMID=ΔMIC

=>MD=MC

Xét ΔADC có

AI,DO là các đường trung tuyến

AI cắt DO tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔADC

=>CM cắt AD tại trung điểm K của AD

Xét ΔKCD và ΔKNA có

\(\hat{KDC}=\hat{KAN}\) (hai góc so le trong, DC//AN)

KD=KA

\(\hat{CKD}=\hat{NKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKCD=ΔKNA

=>CD=NA

Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

Do đó: ANDC là hình bình hành

=>\(\hat{NDC}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{ADC}+\hat{BCD}=180^0\)

và \(\hat{ACD}=\hat{ADC}\) (ΔACD cân tại A)

nên \(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Xét tứ giác NBCD có

NB//CD
\(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Do đó: NBCD là hình thang cân

=>NC=BD

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD
nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt NM tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,MN,BD đồng quy

(Tự vẽ hình nhen)

a,Ta có ABCD là hbh => gADC=gABC(1)

BM là phân giác gABC(gt)=>gABM=1/2gABC(2)

DN là phân giác gADC(gt)=>gMDN=1/2gADC(3)

Từ(1),(2) và (3)=> gNDM=gNBM

Mặt khác NB//DM(t/c hbh)=> BMDN là hbh

b,Gọi O là giao điểm của AC và BD(4)

=>O là trung điểm của BD(t/c hbh)

Ta lại có BMDN là hbh(câu a)=>O cũng là trung điểm của MN(5)

Từ (4) và (5)=>AC,BD,MN đồng quy tại O