Bài 1: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+12^2=169\)

hay BC=13cm

Ta có: ΔABC vuông tại A

nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là một nửa của cạnh huyền BC

hay \(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{13}{2}=6.5\left(cm\right)\)

Bài 2: 

Ta có: ABCD là hình thang cân

nên A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn\(\left(đl\right)\)

hay bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Suy ra: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là \(R=\dfrac{BC}{2}=10\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\left(3^2+4^2=5^2\right)\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\) (BD là phân giác của góc ABE)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

c: Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\hat{ADF}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAF=ΔDEC

=>DF=DC

mà DC>DE(ΔDEC vuông tại E)

nên DF>DE

a) Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\left(5^2=3^2+4^2\right)\)

nên ΔABC vuông tại A(Định lí Pytago đảo)

Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của ΔABC)

Do đó: ΔBAD=ΔBED(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: DA=DE

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC

b: Ta có: ΔABC\(\sim\)ΔHAC

nên AC/HC=BC/AC

hay \(AC^2=BC\cdot HC\)

c: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

a, Xét Δ ABC và Δ HAC, có :

\(\widehat{ACB}=\widehat{HCA}\) (góc chung)

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\)

=> Δ ABC ∾ Δ HAC (g.g)

b, Ta có : Δ ABC ∾ Δ HAC (cmt)

=> \(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\)

=> \(AC^2=BC.HC\)

c, Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go)

=> \(BC^2=3^2+4^2\)

=> \(BC^2=25\)

=> \(BC=5\left(cm\right)\)

BÀi 1: XétΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{4+9-16}{4\cdot3}=\frac{-3}{4\cdot3}=\frac{-1}{4}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cosBAC\)

\(=2\cdot3\cdot\frac{-1}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac32\)

BÀi 2:

a: A(1;-1); B(5;-3); C(2;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(5-1;-3+1\right)=\left(4;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(2-1;0+1\right)=\left(1;1\right)\)

Vì 4/1<>-2/1

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

\(AB=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(2-5\right)^2+\left(0+3\right)^2}=3\sqrt2\)

Chu vi tam giác ABC là:

AB+BC+AC

\(=2\sqrt5+\sqrt2+3\sqrt2=2\sqrt5+4\sqrt2\)

Xét ΔCAB có \(CA^2+CB^2=AB^2\)

nên ΔCAB vuông tại C

=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\sqrt2\cdot3\sqrt2=3\)

b: \(\overrightarrow{CM}=2\cdot\overrightarrow{AB}-3\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>\(\begin{cases}x-2=2\cdot4-3\cdot1\\ y-0=2\cdot\left(-2\right)-3\cdot1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2=8-3\\ y=-4-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=5+2=7\\ y=-7\end{cases}\)

=>M(7;-7)

c: ΔCAB vuông tại C

=>ΔCAB nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB

Tọa độ I là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{-1+\left(-3\right)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}\)

=>I(3;-2)