\(\Leftrightarrow\)\(4y^2+12y=4x^4+4x^2+72\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2=\left(2x^2+1\right)^2+80\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3\right)^2-\left(2x^2+1\right)^2=80\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+3-2x^2-1\right)\left(2y+3+2x^2+1\right)=80\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x^2+1\right)\left(y+x^2+2\right)=20\)

Do \(x,y\in Z\) => \(y+1-x^2;y+x^2+2\in Z\)

=>\(y+1-x^2;y+x^2+2\inƯ\left(20\right)\)

Kẻ bảng làm nốt nha.

Ta có (1)  ⇔ x 4 + x 2 + 20 = y 2 + y

Ta thấy:  x 4 + x 2 < x 4 + x 2 + 20 ≤ x 4 + x 2 + 20 + 8 x 2 ⇔ x 2 ( x 2 + 1 ) < y ( y + 1 ) ≤ ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 )

Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau

+ TH1.  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 3 x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 18 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 3

Với  x 2 = 9   ⇒ y 2 + y = 9 2 + 9 + 20 ⇔ y 2 + y − 110 = 0 ⇔ y = 10 ; y = − 11 ( t . m )

+ TH2  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 3 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 5 x 2 + 6 ⇔ 4 x 2 = 14 ⇔ x 2 = 7 2   ( l o ạ i )

+ TH3: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 4 ) ⇔ 6 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 3   ( l o ạ i )

+ TH4:  y ( y + 1 ) = ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 ) ⇔ 8 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0

Với  x 2 = 0  ta có  y 2 + y = 20 ⇔ y 2 + y − 20 = 0 ⇔ y = − 5 ; y = 4

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :

(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).

a: |2x+1|+|y-1|=4

mà 2x+1 lẻ

nên (|2x+1|;|y-1|)∈{(1;3);(3;1)}

=>(2x+1;y-1)∈{(1;3);(3;1);(-1;-3);(-3;-1);(1;-3);(-3;1);(-1;3);(3;-1)}

=>(2x;y)∈{(0;4);(2;2);(-2;-2);(-4;0);(0;-2);(-4;2);(-2;4);(2;0)}

=>(x;y)∈{(0;4);(1;2);(-1;-2);(-2;0);(0;-1);(-2;2);(-1;4);(1;0)}

b: \(y^2=3-\left|2x-3\right|\)

=>\(3-\left|2x-3\right|\ge0\)

=>|2x-3|<=3

mà 2x-3 lẻ

nên |2x-3|∈{1;3}

TH1: |2x-3|=1

=>\(y^2=3-1=2\)

mà y nguyên

nên y∈∅

TH2: |2x-3|=3

=>\(y^2=3-3=0\)

=>y=0(nhận)

|2x-3|=3

=>2x-3=3 hoặc 2x-3=-3

=>2x=6 hoặc 2x=0

=>x=3(nhận) hoặc x=0(nhận)

c: (x-3)(y-5)=-7

=>(x-3;y-5)∈{(1;-7);(-1;7);(7;-1);(-7;1)}

=>(x;y)∈{(4;-2);(2;12);(10;4);(-4;6)}

a: |2x+1|+|y-1|=4

mà 2x+1 lẻ

nên (|2x+1|;|y-1|)∈{(1;3);(3;1)}

=>(2x+1;y-1)∈{(1;3);(3;1);(-1;-3);(-3;-1);(1;-3);(-3;1);(-1;3);(3;-1)}

=>(2x;y)∈{(0;4);(2;2);(-2;-2);(-4;0);(0;-2);(-4;2);(-2;4);(2;0)}

=>(x;y)∈{(0;4);(1;2);(-1;-2);(-2;0);(0;-1);(-2;2);(-1;4);(1;0)}

b: \(y^2=3-\left|2x-3\right|\)

=>\(3-\left|2x-3\right|\ge0\)

=>|2x-3|<=3

mà 2x-3 lẻ

nên |2x-3|∈{1;3}

TH1: |2x-3|=1

=>\(y^2=3-1=2\)

mà y nguyên

nên y∈∅

TH2: |2x-3|=3

=>\(y^2=3-3=0\)

=>y=0(nhận)

|2x-3|=3

=>2x-3=3 hoặc 2x-3=-3

=>2x=6 hoặc 2x=0

=>x=3(nhận) hoặc x=0(nhận)

c: (x-3)(y-5)=-7

=>(x-3;y-5)∈{(1;-7);(-1;7);(7;-1);(-7;1)}

=>(x;y)∈{(4;-2);(2;12);(10;4);(-4;6)}

Đề không đủ. Bạn coi lại.

Lời giải:
$xy^2+2x-y^2=8$

$(xy^2-y^2)+(2x-2)=6$

$y^2(x-1)+2(x-1)=6$

$(y^2+2)(x-1)=6$

Vì $y^2+2\geq 0+2=2$ và $y^2+2, x-1$ là các số nguyên nên ta có bảng sau: