xin lỗi tớ chưa học lớp 7

Đặt \(\hat{IDC}=\alpha\) ; AB=BC=CD=DA=a

Ta có: \(\hat{IAB}+\hat{IAD}=\hat{BAD}\) (tia AI nằm giữa hai tia AB và AD)

=>\(\hat{IAD}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: \(\hat{ICD}+\hat{ICB}=\hat{BCD}\) (tia CI nằm giữa hai tia CB và CD)

=>\(\hat{ICB}=90^0-15^0=75^0\)

Xét ΔICD có \(\hat{ICD}+\hat{IDC}+\hat{DIC}=180^0\)

=>\(\widehat{DIC} = 180^\circ - (\alpha + 15^\circ)\)

Xét ΔICD có \(\frac{ID}{sinICD}=\frac{CD}{\sin DIC}\)

=>\(\frac{ID}{\sin15^\circ}=\frac{a}{\sin(180^{\circ}-\left(\alpha+15^{\circ}\right))}=\frac{a}{\sin\left(\alpha+15^0\right)}\)

=>\(ID=\frac{a \cdot\sin15^\circ}{\sin(\alpha+ 15^\circ)}\quad(1)\)

Ta có: \(\hat{IDA}+\hat{IDC}=\hat{ADC}\) (tia DI nằm giữa hai tia DA và DC)

=>\(\hat{IDA}=90^0-\alpha\)

Xét ΔIAD có \(\hat{IAD}+\hat{IDA}+\hat{DIA}=180^0\)

=>\(\hat{DIA}=180^0-90^0+\alpha-30^0=60^0+\alpha\)

Xét ΔIAD có \(\frac{ID}{\sin IAD}=\frac{AD}{\sin AID}\)

=>\(\frac{ID}{\sin30^\circ}=\frac{a}{\sin(60^\circ+ \alpha)}\)

=>\(ID=\frac{a \cdot\sin30^\circ}{\sin(60^\circ+ \alpha)}\quad(2)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{a \cdot \sin 15^\circ}{\sin(\alpha + 15^\circ)} = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin(60^\circ + \alpha)}\)

=>\(\sin 15^\circ \cdot \sin(60^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cdot \sin(\alpha + 15^\circ)\)

=>\(2 \sin 15^\circ \cdot \sin(60^\circ + \alpha) = \sin(\alpha + 15^\circ)\)

=>\(\cos\left((60^\circ + \alpha) - 15^\circ\right) - \cos\left((60^\circ + \alpha) + 15^\circ\right) = \sin(\alpha + 15^\circ)\)

=>\(\cos(45^\circ + \alpha) - \cos(75^\circ + \alpha) = \sin(\alpha + 15^\circ)\)

=>\(\sin(45^\circ - \alpha) - \sin(15^\circ - \alpha) = \sin(15^\circ + \alpha)\)

=>\(\alpha=15^0\)

=>\(\hat{IDC}=\hat{ICD}\)

=>ID=IC

ΔICD cân tại I

=>\(\hat{DIC}=180^0-2\cdot\hat{IDC}=150^0\)

Xét ΔIDC có \(\frac{DC}{\sin DIC}=\frac{ID}{\sin ICD}\)

=>\(\frac{ID}{\sin15}=\frac{DC}{\sin150}\)

=>\(ID=2a\cdot\sin15\)

=>\(IC=ID=2a\cdot\sin15\)

\(\hat{IDA}+\hat{IDC}=\hat{ADC}\)(tia DI nằm giữa hai tia DA và DC)

=>\(\hat{IDA}=90^0-15^0=75^0\)

Xét ΔIAD có \(\hat{IAD}+\hat{ADI}+\hat{AID}=180^0\)

=>\(\hat{AID}=180^0-30^0-75^0=75^0\)

=>\(\hat{AID}=\hat{ADI}\)

=>AI=AD=a

Xét ΔAIB có AI=AB và \(\hat{BAI}=60^0\)

nên ΔAIB đều

=>\(\hat{ABI}=60^0\)

\(\hat{ABI}+\hat{IBC}=\hat{ABC}\) (tia BI nằm giữa hai tia BA và BC)

=>\(\hat{IBC}=90^0-60^0=30^0\)

a) Xét ΔIAB và ΔICD có 

IA=IC(I là trung điểm của AC)

\(\widehat{AIB}=\widehat{CID}\)(hai góc đối đỉnh)

IB=ID(gt)

Do đó: ΔIAB=ΔICD(c-g-c)

b) Ta có: ΔIAB=ΔICD(cmt)

nên AB=CD(hai cạnh tương ứng)

mà AB<BC(gt)

nên CD<BC

Xét ΔBCD có CD<BC(cmt)

mà góc đối diện với cạnh CD là góc DBC

và góc đối diện với cạnh BC là góc BDC

nên \(\widehat{DBC}< \widehat{BDC}\)(Định lí quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

hay \(\widehat{IDC}>\widehat{IBC}\)

mà \(\widehat{IDC}=\widehat{IBA}\)(ΔIAB=ΔICD)

nên \(\widehat{IBA}>\widehat{IBC}\)(đpcm)

b: Xét tứ giác ABDC có 

I là trung điểm của BC

I là trung điểm của AD

Do đó: ABDC là hình bình hành

Suy ra: AB=CD

Xét ΔADC và ΔBCD có 

CD chung

AD=BC(ABCD là hình thang cân)

AC=BD(ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔADC=ΔBCD(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)

Xét ΔIDC có \(\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)(cmt)

nên ΔIDC cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: \(\widehat{IAB}=\widehat{ICD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{IBA}=\widehat{IDC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

mà \(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}\)(cmt)

nên \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)

Xét ΔIAB có \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)(cmt)

nên ΔIAB cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)