b: Xét tứ giác ABCE có 

M là trung điểm của AC
M là trung điểm của BE

Do đó:ABCE là hình bình hành

a) -Xét △ABM có: \(EG\)//\(BM\) (gt)

=>\(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{MG}{AG}\) (định lí Ta-let).

=>\(BE.AG=AE.MG\).

b) -Ta có: \(BM\)//\(d\) (gt) ; \(CN\)//\(d\) (gt)

=>\(BM\)//\(CN\).

- Xét △BMD và △CND có:

\(\widehat{BMD}=\widehat{CND}\) (\(BM\)//\(CN\) và so le trong).

\(BD=CD\) (D là trung điểm AB).

\(\widehat{BDM}=\widehat{CDN}\) (đối đỉnh).

=>△BMD = △CND (c-g-c).

=>\(MD=ND\) (2 cạnh tương ứng).

*\(GM+GN=GD-MD+GD+ND=2GD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AC=BC\\AN=NB\\CN\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta ACN=\Delta BCN\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{ANC}=\widehat{BNC}\\ \text{Kết hợp với }AN=NB;NI\text{ chung}\\ \Rightarrow\Delta AIN=\Delta BIN\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow AI=BI\left(1\right)\)

Cmtt \(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta CBM\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{CMB}\\ \Rightarrow\Delta AIM=\Delta CIM\\ \Rightarrow AI=CI\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AI=BI=CI\)

kết quả là 54 cm

54 đó chắc 100% luôn

\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CN}\)

\(=-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\frac{-1}{2}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

Ta có: \(AM=MC=\frac{AC}{2}\)

\(AN=NB=\frac{AB}{2}\)

mà AC=AB

nên AM=MC=AN=NB

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\hat{BAM}\) chung

AM=AN

Do đó: ΔABM=ΔACN

=>BM=CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABC

=>\(IB=\frac23BM;CI=\frac23CN\)

mà BM=CN

nên IB=IC

Xét ΔBMA và ΔBMC có

BM chung

MA=MC

BA=BC

Do đó: ΔBMA=ΔBMC

=>\(\hat{BMA}=\hat{BMC}\)

mà \(\hat{BMA}+\hat{BMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BMA}=\hat{BMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>BM⊥AC tại M

Xét ΔIMA vuông tại M và ΔIMC vuông tại M có

IM chung

MA=MC

Do đó: ΔIMA=ΔIMC

=>IA=IC

=>IA=IC=IB

Gọi E là giao điểm các đường trung trực của MN và BC.

Theo tính chất đường trung trực ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EM=EN\\EB=EC\end{matrix}\right.\).

Lại có BM = CN (gt) nên \(\Delta EMB=\Delta ENC(c.c.c)\).

Suy ra \(\widehat{EMB}=\widehat{ENC}\) nên \(\widehat{EMA}=\widehat{END}\).

Lại có BM = CN và AB = CD nên AM = ND.

Xét \(\Delta EMA\) và \(\Delta END\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=ND\\\widehat{EMA}=\widehat{END}\\EM=EN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta EMA=\Delta END\left(c.g.c\right)\Rightarrow EM=EN\).

Suy ra E thuộc đường trung trực của MN.

Vậy đường trung trực của ba đoạn AD, MN, BC đồng quy.