Lời giải:

$\frac{u_{n-1}}{u_n}=\frac{n^2}{n^2-1}>0$ với mọi $n\geq 2$ nên $u_{n-1}, u_n$ luôn cùng dấu.

Mà $u_1=2017>0$ nên $u_n>0$ với mọi $n=1,2,...$

Mặt khác:

$n^2(u_{n-1}-u_n)=u_{n-1}>0\Rightarrow u_{n-1}>u_n$ nên dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Dãy giảm và bị chặn dưới nên $u_n$ hội tụ. Đặt $\lim u_n=a$. 

Ta có: $a=n^2(a-a)\Rightarrow a=0$

Vậy $\lim u_n=0$

Ta có: \(u_{n+1} - u_n - 2 + 8u_{n+1} - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} - u_n - 2 - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} = u_n + 2 + 2\sqrt{4u_n + 1}\) (1)

Đặt \(x_{n}=\sqrt{4u_n + 1}\left(x_{n}\ge0\right)\) , khi đó ta có:

\(4u_{n}=x_{n}^2-1\)

=>\(u_{n}=\frac{x_n^2 - 1}{4}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có: \(u_{n+1} = \frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\)

(1) sẽ trở thành: \(9\left(\frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\right) = \frac{x_n^2 - 1}{4} + 2 + 2x_n\)

=>\(9(x_{n+1}^2 - 1) = x_n^2 - 1 + 8 + 8x_n\)

=>\(9x_{n+1}^2 - 9 = x_n^2 + 8x_n + 7\)

=>\(9x_{n+1}^2 = x_n^2 + 8x_n + 16\)

=>\(9x_{n+1}^2 = (x_n + 4)^2\)

=>\(3x_{n+1}=x_{n}+4\)

=>\(x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\)

\(x_1=\sqrt{4u_1 + 1}=\sqrt{4\cdot2+1}=\sqrt{9}=3\)

Đặt \(a=\frac13a+\frac43\)

=>\(\frac23a=\frac43\)

=>a=2

Đặt dãy số phụ \(y_n = x_n - 2\) , ta sẽ có:

\(y_{n+1}=x_{n+1}-2\)

\(=\left(\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\right)-2\)

\(=\frac{1}{3}x_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(x_{n}-2)=\frac{1}{3}y_{n}\)

Do đó: \(\left(y_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội là q=1/3; số hạng đầu là: \(y_1=x_1-2=3-2=1\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(y_{n}\right)\) là:

\(y_n = y_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(x_{n}\right)\) là:

\(x_n = y_n + 2 = \frac{1}{3^{n-1}} + 2 = \frac{2 \cdot 3^{n-1} + 1}{3^{n-1}}\)

\(u_{n}=\frac{\left(2 + \frac{1}{3^{n-1}}\right)^2 - 1}{4}\)

\(=\frac{4 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}} - 1}{4}=\frac{3 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}}}{4}\)

\(=\frac{3 \cdot3^{2n-2} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

\(=\frac{3^{2n-1} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

Chọn A

Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát

Cách giải: Ta có:

u ( 1 ) = 1

u ( 2 ) = u ( 1 ) + u ( 1 ) = 2 u ( 1 ) + 1

u ( 3 ) = u ( 2 ) + u ( 1 ) = 3 u ( 1 ) + 1 + 2

u ( 4 ) = u ( 3 ) + u ( 1 ) = 4 u ( 1 ) + 1 + 2 + 3

. . .

u ( 2017 ) = u ( 2016 ) + u ( 1 ) = 2017 u ( 1 ) + 1 + 2 + 3 . . . + 2016

⇒ u ( 2017 ) = 1 + 2 + 3 . . . + 2016 + 2017 = 2035153

1. a) Lấy biến C để tính u_n và E để tính s_n và D là biến đếm. Ta có quy trình bấm phím liên tục

D=D+1:C=2B+A:E=E+C:A=B:B=C

CALC giá trị A=2; B=20; D=2; E=22 nhấn "=" liên tục

Kết quả: u₂₀ = 137990600; s₂₀ = 235564680; u₃₀ = 928124755084; s₃₀ = 1584408063182

2. Lấy A làm biến lẻ, B làm biến chẵn, C là tổng S, D là biến đếm. Ta có quy trình bấm phím liên tục

D=D+1:A=2B+3A:C=C+A:D=D+1:B=2A+3B:C=C+B

CALC giá trị D=2; A=1; B=2; C=3 nhấn "=" liên tục

a) Kết quả: u₁₀ = 28595; u₁₅ = 8725987; u₂₀ = 3520076983

b) Kết quả: s₁₀ = 40149; s₁₅ =13088980 ; s₂₀ = 4942439711