Câu 1: \(y=mx^3-2m\cdot x^2+\left(m-2\right)\cdot x+1\)

=>y'=\(m\cdot3x^2-2m\cdot2x+\left(m-2\right)=3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm

=>\(3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\) =0(1) vô nghiệm

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(3\cdot0\cdot x^2-4\cdot0\cdot x+0-2=0\)

=>-2=0(vô lý)

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot3m\cdot\left(m-2\right)=16m^2-12m^2+24m=4m^2+24m\)

Để (1) vô nghiệm thì Δ<0

=>4m(m+6)<0

=>m(m+6)<0

=>-6<m<0

Đáp án C

Câu 2:

\(f\left(x\right)=x^3-2m\cdot x^2+mx+1\)

=>f'(x)=\(3x^2-2m\cdot2x+m=3x^2-4m\cdot x+m\)

=>f''(x)=\(3\cdot2x-4m=6x-4m\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì f'(1)=0 và f''(1)>0

=>\(3\cdot1^2-4m\cdot1+m=0\) và 6*1-4m>0

=>3-4m+m=0 và 4m<6

=>3-3m=0 và m<3/2

=>m=1

Đáp án B.

Ta có y ' = 2 x 2 + 2 m + 1 x + m 2 + 4 m + 3 ;   ∀ x ∈ ℝ .  

Phương trình y ' = 0 ⇔ 2 x 2 + 2 m + 1 x + m 2 + 4 m + 3 = 0    (*).

Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ - 5 < m < - 1 .  

Và các điểm cực trị của hàm số nằm bên phải Oy ⇔ m 2 + 4 m + 3 > 0 ⇔ [ m > - 1 m < - 3 .  

Vậy  - 5 < m < - 3  là giá trị cần tìm.

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m^2-4\right)=x^2-2m\cdot x+m^2-4\)

=>y''=\(2x-2m\)

Để hàm số đạt cực đại tại x=3 thì y'(3)=0 và y''(3)<0

=>\(3^2-2m\cdot3+m^2-4=0\) và 2*3-2m<0

=>\(9-6m+m^2-4\) =0 và 6-2m<0

=>\(m^2-6m+5=0\) và 2m>6

=>(m-5)(m-1)=0 và m>3

=>m=5

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m^2-4\right)=x^2-2m\cdot x+m^2-4\)

=>y''=\(2x-2m\)

Để hàm số đạt cực đại tại x=3 thì y'(3)=0 và y''(3)<0

=>\(3^2-2m\cdot3+m^2-4=0\) và 2*3-2m<0

=>\(9-6m+m^2-4\) =0 và 6-2m<0

=>\(m^2-6m+5=0\) và 2m>6

=>(m-5)(m-1)=0 và m>3

=>m=5