Ta có \(B\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\) \(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)^2}{2}\)

Lại có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của B là \(\dfrac{25}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn

Trước hết ta chứng minh  BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)

Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh

Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)

Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)

\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)

\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)

Tương tự:

Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)

Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)

\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)

Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được

\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)

Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;

\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)

\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)

Đặt \(x+y=a>0\)ta có;

\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)

\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)

\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)

bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn

lại bị trùng rồi quỳnh ơi , https://olm.vn/hoi-dap/detail/76355556031.html

Câu hỏi của Con Heo - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM

\(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\)

xyz=1

=>\(\left|x\right|\cdot\left|y\right|\cdot\left|z\right|=1\)

Theo AM-GM, ta được:

\(\vert{}xy\vert{} + \vert{}yz\vert{} + \vert{}zx\vert{} \ge 3 \sqrt[3]{\vert{}xy\vert{} \cdot \vert{}yz\vert{} \cdot \vert{}zx\vert{}} = 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} = 3 \cdot 1 = 3\)

Dấu '=' xảy ra khi |x|=|y|=|z|=1

Đặt \(Q=15\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}-7(x+y-z)\)

Theo Cauchy, ta có:

\(1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot (-z) \le \sqrt{(1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + (-z)^2)} = \sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}\)

=>\(x + y - z \le \sqrt{3}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

=>\(-7(x+y-z)\ge-7\sqrt{3}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Do đó, ta có:

\(Q \ge 15\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - 7\sqrt{3}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = (15 - 7\sqrt{3})\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

=>\(Q \ge (15 - 7\sqrt{3})\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 21\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x=y=-z\\ \vert{}x\vert{}=\vert{}y\vert{}=\vert{}z\vert{}=1\\ xyz=1\end{cases}\iff x=1,y=1,z=-1\)

\(P=(\vert{}xy\vert{}+\vert{}yz\vert{}+\vert{}zx\vert{})Q+1\)

=>\(P\ge3\cdot(15\sqrt{3}-21)+1=45\sqrt{3}-63+1=45\sqrt{3}-62\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

3x+12y=1+2=3

(3x-1)²+|x-2y| = 0 nên (3x-1)² và |x-2y| đối nhau mà 2 số đều không âm nên chỉ có thể (3x-1)² = |x-2y| = 0

=> 3x-1 = 0 ; x-2y = 0 => 3x = 1 => x = 1/3 = 2y => y = 1/6 => 3x+12y = 1 + 12.1/6 = 1 + 2 = 3