a: \(\left(n+3\right)^2-n^2=\left(n+3+n\right)\left(n+3-n\right)\)

\(=3\left(2n+3\right)⋮3\)

b: Đặt A=\(\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=n^2-10n+25-n^2\)

\(=-10n+25=5\left(-2n+5\right)⋮5\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=-10n+25\)

\(-10n⋮2;25⋮̸2\)

=>-10n+25 không chia hết cho 2

=>A không chia hết cho 2

(n + 3)² - n² = n² + 6n + 9 - n²

= 6n + 9

= 3(3n + 3) ⋮ 3

Vậy [(n + 3)² - n²] ⋮ 3 với mọi n ∈ ℕ

--------

(n - 5)² - n² = n² - 10n + 25 - n²

= -10n + 25

= -5(2n - 5) ⋮ 5

Do -10n ⋮ 2

25 không chia hết cho 2

⇒ -10n + 25 không chia hết cho 2

Vậy [(n - 5)² - n²] ⋮ 5 và không chia hết cho 2 với mọi n ∈ ℕ

\(n^2+n+1\)

=n(n+1)+1

Vì n;n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên n(n+1)⋮2

=>n(n+1)+1 không chia hết cho 2

Giả sử \(n^2+n+1\) chia hết cho 9

=>\(n^2+2n-n-2+3\) ⋮9

=>(n+2)(n-1)+3⋮9

=>(n+2)(n-1)+3⋮3

=>(n+2)(n-1)⋮3

mà n+2-(n-1)=n+2-n+1=3⋮3

nên n+2⋮3 và n-1⋮3

=>(n+2)(n-1)⋮9

=>(n+2)(n-1)+3 không chia hết cho 9, trái với giả thiết

Do đó: \(n^2+n+1\) không chia hết cho 9

a) Ta có n³ - n + 4 

= n(n² - 1) + 4

= (n - 1)n(n + 1) + 4 

Vì (n - )n(n + 1) \(⋮3\)(tích 3 số nguyên liên tiếp) 

mà 4 \(⋮̸\)3 

=> n³ - n + 4 không chia hết cho 3

a: Ta có: \(3n+2⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

có vẻ hơi ngắn