\(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{x+2}\) (ĐK: \(-2\le x\le2\))

\(\Leftrightarrow4-x^2=x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\x=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

_______

\(\sqrt{9x^2-4}=2\sqrt{3x-2}\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{2}{3}\)) 

\(\Leftrightarrow9x^2-4=4\left(3x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-4=12x-8\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x=2\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\left(tm\right)\)

Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x  = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
 Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
 

Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.

\(\left(\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}\right)^2=x-\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{\left(x-\sqrt{x^2-4}\right)\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)}\)

\(+x+\sqrt{x^2-4}=2x+2\sqrt{x^2-\left(x^2-4\right)}=2x+2\sqrt{x^2-x^2+4}=2x+2\sqrt{4}=2x+4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}\right)^2=2x+4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}=\sqrt{2x+4}\)(đpcm)

\(B=\left(\dfrac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}+4}=\dfrac{1}{2}\)

Bài 3:

b: ĐKXĐ: \(\begin{cases}1-x^2\ge0\\ x+1\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2\le1\\ x\ge-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ x\ge1\end{cases}\)

\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}=0\)

=>\(\sqrt{1+x}\left(\sqrt{1-x}+1\right)=0\)

=>\(\sqrt{1+x}=0\)

=>x+1=0

=>x=-1(nhận)

c: Sửa đề: \(x+y+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)

ĐKXĐ: x>=2; y>=3; z>=5

\(x+y+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)

=>\(x+y+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}=0\)

=>\(x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-3-4\sqrt{y-3}+4+z-5-6\sqrt{z-5}+9=0\)

=>\(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)

=>\(\begin{cases}x-2=1\\ y-3=4\\ z-5=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3\\ y=7\\ z=14\end{cases}\) (nhận)

d: \(x^2+2x-\sqrt{x^2+2x+1}-5=0\)

=>\(x^2+2x+1-\sqrt{x^2+2x+1}-6=0\)

=>\(\left(\left|x+1\right|\right)^2-\left|x+1\right|-6=0\)

=>(|x+1|-3)(|x+1|+2)=0

=>|x+1|-3=0

=>|x+1|=3

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1=3\\ x+1=-3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}\right.\)

Bài 2:

a: DKXĐ: x>=0

\(\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}=5x+2\)

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=5x+2\)

=>\(5x+2=\sqrt{x}+2\)

=>\(5x-\sqrt{x}=0\)

=>\(\sqrt{x}\left(5\sqrt{x}-1\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\ 5\sqrt{x}-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\ \sqrt{x}=\frac15\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\left(nhận\right)\\ x=\frac{1}{25}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

b: ĐKXĐ: x∈R

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}=4\)

=>\(\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=4\)

=>|x+2|+|x-1|=4(1)

TH1: x<-2

=>x+2<0; x-1<0

(1) sẽ trở thành: -x-2+1-x=4

=>-2x-1=4

=>-2x=5

=>\(x=-\frac52\) (nhận)

TH2: -2<=x<1

=>x+2>=0; x-1<0

(1) sẽ trở thành: x+2+1-x=4

=>3=4(loại)

TH3: x>=1

=>x+2>0; x-1>=0

(1) sẽ trở thành: x+2+x-1=4

=>2x=3

=>x=3/2(nhận)

c: ĐKXĐ: x>=1

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\)

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\)

=>\(\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2\)

=>\(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2-\sqrt{x-1}-1=1-\sqrt{x-1}\)

=>\(\sqrt{x-1}-1\le0\)

=>\(\sqrt{x-1}\le1\)

=>x-1<=1

=>x<=2

=>1<=x<=2

+) Ta có: \(4\sqrt{3x}+\sqrt{12x}=\sqrt{27x}+6\)    \(\left(ĐK:x\ge0\right)\)

        \(\Leftrightarrow4\sqrt{3x}+2\sqrt{3x}=3\sqrt{3x}+6\)

        \(\Leftrightarrow3\sqrt{3x}=6\)

        \(\Leftrightarrow\sqrt{3x}=2\)

        \(\Leftrightarrow3x=4\)

        \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\left(TM\right)\)

Vậy \(S=\left\{\frac{4}{3}\right\}\)

+) Ta có:\(\sqrt{x^2-1}-4\sqrt{x-1}=0\)    \(\left(ĐK:x\ge1\right)\)

        \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}.\sqrt{x+1}-4\sqrt{x-1}=0\)

        \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}.\left(\sqrt{x+1}-4\right)=0\)

        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=0\\\sqrt{x+1}-4=0\end{cases}}\)

        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\\sqrt{x+1}=4\end{cases}}\)

        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\x+1=16\end{cases}}\)

        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\left(TM\right)\\x=15\left(TM\right)\end{cases}}\)

 Vậy \(S=\left\{1,15\right\}\)

+) Ta có: \(\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}< \frac{1}{4}\)       \(\left(ĐK:x\ge0\right)\)

         \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}< 0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{2.\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}< 0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}-4-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}< 0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{4\sqrt{x}}< 0\)

   Để \(\frac{\sqrt{x}-4}{4\sqrt{x}}< 0\)mà \(4\sqrt{x}\ge0\forall x\)

    \(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}-4< 0\)

   \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}< 4\)

   \(\Leftrightarrow\)\(x< 16\)

   Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\)\(0\le x< 16\)

 Vậy \(S=\left\{\forall x\inℝ/0\le x< 16\right\}\)

\(4\sqrt{3x}+\sqrt{12x}=\sqrt{27x}+6\)  (Đk: x \(\ge\)0)

<=> \(4\sqrt{3x}+2\sqrt{3x}-3\sqrt{3x}=6\)

<=> \(3\sqrt{3x}=6\)

<=> \(\sqrt{3x}=2\)

<=> \(3x=4\)

<=> \(x=\frac{4}{3}\)

\(\sqrt{x^2-1}-4\sqrt{x-1}=0\) (đk: x \(\ge\)1)

<=> \(\sqrt{x-1}.\sqrt{x+1}-4\sqrt{x-1}=0\)

<=> \(\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+1}-4\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-1}=0\\\sqrt{x+1}-4=0\end{cases}}\) 

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+1=16\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=15\end{cases}}\)(tm)

\(\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}< \frac{1}{4}\) (Đk: x > 0)

<=> \(\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}< 0\)

<=>\(\frac{2\sqrt{x}-4-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}< 0\)

<=>  \(\frac{\sqrt{x}-4}{4\sqrt{x}}< 0\)

Do \(4\sqrt{x}>0\) => \(\sqrt{x}-4< 0\)

<=> \(\sqrt{x}< 4\) <=> \(x< 16\)

Kết hợp với đk => S = {x|0 < x < 16}

ĐKXĐ: \(-2\le x\le3\)

\(\dfrac{\sqrt{-x^2+x+6}}{2x+5}-\dfrac{\sqrt{-x^2+x+6}}{x-4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+x+6}\left(\dfrac{1}{2x+5}-\dfrac{1}{x-4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(-x-9\right)\sqrt{x^2+x+6}}{\left(2x+5\right)\left(x-4\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x^2+x+6=0\\\dfrac{-x-9}{\left(2x+5\right)\left(x-4\right)}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-2\le x\le3\)

Hoặc có thể biện luận như sau:

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+5>0;\forall x\in\left[-2;3\right]\\x-4< 0;\forall x\in\left[-2;3\right]\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{-x^2+x+6}}{2x+5}\ge0\\\dfrac{\sqrt{-x^2+x+6}}{x-4}\le0\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[-2;3\right]\)

Do đó nghiệm của BPT là \(-2\le x\le3\)

\(1)\) Ta có : 

\(M=\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-2x+1}\)

\(M=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

\(M=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\)

\(M=\left|x+1\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x+1+1-x\right|=\left|2\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x+1\right)\left(1-x\right)\ge0\)

Trường hợp 1 : 

\(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\1-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le1\end{cases}\Leftrightarrow}-1\le x\le1}\)

Trường hợp 2 : 

\(\hept{\begin{cases}x+1\le0\\1-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-1\\x\ge1\end{cases}}}\) ( loại ) 

Vậy GTNN của \(M\) là \(2\) khi \(-1\le x\le1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

b,ta co x^2+y^2=1

=>x^2=1-y^2

    y^2=1-x^2

ta co

\(\sqrt{x^4+4\left(1-x^2\right)}\)+\(\sqrt{y^4+4\left(1-y^2\right)}\)

=\(\sqrt{\left(x^2-2\right)^2}\)+\(\sqrt{\left(y^2-2\right)^2}\)

còn lại bạn xét các trường hợp của x^2-2 và y^2-2 là ra

\(c,B< A\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}< \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\\ \Rightarrow\sqrt{x}+4< \sqrt{x}+1\left(vô.lí\right)\)

Vậy không có x nguyên thỏa mãn đề bài

Đây bạn nhé