mnbhajfhbgjrhjusfvb uksdryhweuktyudtgvzcbjfhf

Đặt \(A=3^{3m^2+6n-61}+4\)

Đặt \(k=3m^2+6n-61\)

TH1: k=0

=>\(A=3^0+4=1+4=5\) là số nguyên tố

=>Nhận

k=0

=>\(3m^2+6n-61=0\)

=>\(3m^2+6n=61\)

=>3(m^2+2n)=61

mà 61 không chia hết cho 3

nên (m;n)∈∅

TH2: k>=1

Nếu k=4t+1 thì \(3^{k}=3^{4t+1}=81^{t}\cdot3\equiv1^{t}\cdot3\equiv3\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv3+4=7\equiv2\pmod5\)

Nếu k=4t+2 thì \(3^{k}=3^{4t+2}=81^{t}\cdot9\equiv1^{t}\cdot4\equiv4\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv4+4=8\equiv3\pmod5\)

Nếu k=4t+3 thì \(3^{k}=3^{4t+3}=81^{t}\cdot27\equiv1^{t}\cdot2\equiv2\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv2+4=6\equiv1\pmod5\)

Nếu k=4t thì \(3^k = (3^2)^{\frac{k}{2}} = 9^{\frac{k}{2}}\)

Đặt x=k/2

Đặt k=4t

\(A = 3^k + 4 = (3^2)^{\frac{k}{2}} + 2^2 = 9^{\frac{k}{2}} + 4\)

\(=3^{4t}+4=(3^{t})^4+4=\left[(3^{t})^2+2\right]^2-(2\cdot3^{t})^2\)

\(=(3^{2t}+2-2\cdot3^{t})(3^{2t}+2+2\cdot3^{t})\)

\(=\left[(3^{t}-1)^2+1\right]\left[(3^{t}+1)^2+1\right]\)

t>=1

=>\(3^t - 1 \ge 2 \implies (3^t - 1)^2 + 1 \ge 5 > 1\)

t>=1

=>\((3^t + 1)^2 + 1 > 1\)

Do đó: A là tích của hai thừa số lớn hơn 1

=>A là hợp số

=>(m;n)∈∅

giả sử d = ƯCLN ( m , n ) với d \(\ge\) 1 thì m \(⋮\)d và n \(⋮\) d 

suy ra : 3m \(⋮\) d , 2n \(⋮\) d 

suy ra 3m - 2n = 1 \(⋮\) d 

Bởi vì d \(\ge\)1 mà 1 d thì d = 1, 

suy ra m và n nguyên tố cùng nhau

3m²+m=4n²+n

=>(m-n)(4m+4n+1)=m²(1)(phân tích ra là về cái ban đầu nhé)

Gọi d là 1 ước chung của m-n và 4m+4n+1

=>(m-n)(4m+4n+1) chia hết cho d.d=d²

Từ (1) =>m² chia hết cho d²

=>m chia hết cho d

Mà m-n cũng chia hết cho d => n chia hết cho d

=>4m+4n+1 chia d dư 1(vô lí vì d được giả sử là ước của 4m+4n+1)

=>4m+4n+1 và m-n nguyên tố cùng nhau

 khi phân tích a hoặc b có thừa số nguyên tố p với mũ lẻ mà 2 số này nguyên tố cùng nhau nên số còn lại không chưa p =>m² bằng tích của p với 1 số khác p.Mà m² là số chính phương nên điều trên là vô lí

=>m-n và 4m+4n+1 phải cùng là số chính phương(ĐPCM)

Hơi khó hiểu nhưng đúng đó Đây là mình cố giải thích cho bạn chứ thực ra k có dòng giải thích dài dài kia đâu

Khó lắm