\(x^2+5y^2+2x-6y-4xy+2=0\)

=>\(x^2-4xy+4y^2+2x-4y+y^2-2y+2=0\)

=>\(\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1+y^2-2y+1=0\)

=>\(\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)

=>y-1=0 và x-2y+1=0

=>y=1 và x=2y-1=2-1=1

\(S=x^{2020}+\left(y-2\right)^{2021}\)

\(=1^{2020}+\left(1-2\right)^{2021}=1-1=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2\left(x+2021\right)-\left(x+2021\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2021\right)\left(4x^2-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x+2021\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}\\x=-2021\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$4x^2(x+2021)-x-2021=0$

$\Leftrightarrow 4x^2(x+2021)-(x+2021)=0$

$\Leftrightarrow (x+2021)(4x^2-1)=0$

$\Leftrightarrow (x+2021)(2x-1)(2x+1)=0$

$\Rightarrow x+2021=0$ hoặc $2x-1=0$ hoặc $2x+1=0$

$\Leftrightarrow x=-2021$ hoặc $x=\pm \frac{1}{2}$

Lời giải:
$x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+5y^2-12x+2y+41=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2-12(x-y)+36+5y^2-10y+5=0$

$\Leftrightarrow (x-y-6)^2+5(y-1)^2=0$

Vì $(x-y-6)^2\geq 0; (y-1)^2\geq 0$ với mọi $x,y$

Do đó để tổng trên bằng $0$ thì bản thân mỗi số trên bằng $0$

$\Rightarrow x-y-6=y-1=0$

$\Rightarrow y=1; x=7$

$\Rightarrow P=2021(10-7-2)^{2021}-8(6-7)^{2022}$

$=2021-8=2013$

\(2021^x=t>0\Rightarrow t^2-22t+2021-m=0\)

Pt có 2 nghiệm nên (1) có 2 nghiệm dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=121-\left(2021-m\right)\ge0\\t_1+t_2=22>0\\t_1t_2=2021-m>0\end{matrix}\right.\) (1)

\(x=log_{2021}t\Rightarrow x_1+x_2=log_{2021}t_1+log_{2021}t_2=log_{2021}\left(t_1t_2\right)\)

\(\Rightarrow log_{2021}\left(t_1t_2\right)\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow t_1t_2\ge\sqrt{2021}\)

\(\Rightarrow2021-m\ge\sqrt{2021}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow m\)

*Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\begin{cases} x + y \ge 3 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}\) (*)

THay x=1 và y=1 vào x+y>=3, ta được:

1+1>=3

=>2>=3(sai)

=>Miền nghiệm của bất phương trình x+y>=3 là nửa mặt phẳng có chứa biên và không chứa điểm M(1;1) của đường thẳng x+y=3(1)

x>=0 nên miền nghiệm của bất phương trình x>=0 là nửa phần bên phải có chứa biên của đường thẳng Oy(2)

y>=0 nên miền nghiệm của bất phương trình y>=0 là nửa phần bên trên có chứa biên của đường thẳng Ox(3)

THay x=1 và y=1 vào 2x+y<=6, ta được:

2*1+1<=6

=>3<=6(đúng)

=>miền nghiệm của bất phương trình 2x+y<=6 là nửa mặt phẳng có chứa biên và có chứa điểm M(1;1) của đường thẳng 2x+y=6(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra miền nghiệm của (*) là:

=>Miền nghiệm của hệ (*) là ΔABC, với A là giao điểm của x+y=3 và x=0; B là giao điểm của 2x+y=6 và x=0; C là giao điểm của x+y=3 và 2x+y=6

=>A(0;3); B(0;6); C(3;0)

Khi x=0 và y=3 thì F=5*0-6*3+2021=2003

Khi x=0 và y=6 thì F=5*0-6*6+2021=2021-36=1985

Khi x=3 và y=0 thì F=5*3-6*0+2021=2021+15=2036

=>F min=1985 khi x=0; y=6

F max=2036 khi x=3; y=0

b: \(=1^{2020}\cdot\left(-1\right)^{2021}+4\cdot1^{2020}\cdot\left(-1\right)^{2021}-2\cdot1^{2020}\cdot\left(-1\right)^{2021}\)

\(=1\cdot\left(-1\right)+4\cdot1\cdot\left(-1\right)-2\cdot1\cdot\left(-1\right)\)

=-1-4+2

=-3

Áp dụng bđt `1/x+1/y>=4/(x+y)`

`=>A>=(a+b).(2021.4)/(a+b)`

`=>A>=2021.4=8084`

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[ \begin{array}{l}a=b=2021\\a=b=2022\end{array} \right.\) 

Giá trị của biểu thức sau bằng bao nhiêu?
2021 × 87 + 20,21 × 1400 - 2021