Lời giải:

Theo nhị thức Newton:

$C^k_{2016}$ chính là hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}(*)$

Lại có:

$(x+1)^{2016}=(x+1)^5.(x+1)^{2011}$

\(=(\sum \limits_{i=0}^5C^i_5x^i)(\sum \limits_{j=0}^{2011}C^i_{2011}x^j)\)

Hệ số $x^k$ trong khai triển này tương ứng với $0\leq i\leq 5; 0\leq j\leq 2011$ thỏa mãn $i+j=k$

Hay hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}$ là:

$C^0_5.C^k_{2011}+C^1_5.C^{k-1}_{2011}+C^2_5C^{k-2}_{2011}+C^3_5.C^{k-3}_{2011}+C^4_5.C^{k-4}_{2011}+C^5_5.C^{k-5}_{2011}(**)$

Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.

\(C_{14}^k+C_{14}^{k+2}=2C_{14}^{k+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{14!}{\left(14-k\right)!k!}+\dfrac{14!}{\left(12-k\right)!\left(k+2\right)!}=\dfrac{2.14!}{\left(13-k\right)!\left(k+1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{14!}{k!\left(12-k\right)!}\left[\dfrac{1}{\left(14-k\right)\left(13-k\right)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right]=\dfrac{2}{\left(13-k\right)\left(k+1\right)}.\dfrac{14!}{k!\left(12-k\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2k^2-24k+184}{\left(14-k\right)\left(k+2\right)\left(13-k\right)\left(k+1\right)}=\dfrac{2}{\left(13-k\right)\left(k+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{k^2-12k+92}{-k^2+12k+28}=1\)

\(\Leftrightarrow k^2-12k+92=-k^2+12k+28\)

\(\Leftrightarrow k^2-12k+32=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=4\\k=8\end{matrix}\right.\)

đề bảo là cm hay tìm k

1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)

\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)

\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)

\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)

\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)

Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm

chỗ nào không cứ hỏi mình nhé

a) Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C^4_{50}.C^4_{46}\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh

b) Lập luận tương tự

c) Ta có : \(0!=1;2!=2;4!=1.2.3.4=24\)

Các số hạng \(6!;8!;.....,100!\) đều có tận cùng là chữ số \(0\). Do đó chữ số ở hàng đơn vị của \(S\) là \(1+2+4=7\)

\(S=(C_{2020}^1)^2+(2C_{2020}^2)^2+(3C_{2020}^3)^2+\ldots+(2020C_{2020}^{2020})^2\)

Ta có đẳng thức tổ hợp sau:

\(k C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n C_{n-1}^{k-1}\)

=>\(S = \sum_{k=1}^{n} (k C_n^k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (n C_{n-1}^{k-1})^2 = n^2 \sum_{k=1}^{n} \left( C_{n-1}^{k-1} \right)^2\)

Đặt i=k-1

Khi k chạy từ 1 đến n

thì i chạy từ 0 đến n-1

=>\(S = n^2 \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

Đặt \(T = \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

\((1+x)^{n-1} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 x + C_{n-1}^2 x^2 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} x^{n-1}\)

\((x+1)^{n-1} = C_{n-1}^0 x^{n-1} + C_{n-1}^1 x^{n-2} + \ldots + C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó: \(\left(1+x\right)^{2n-2}=(C_{n-1}^0)^2+(C_{n-1}^1)^2+(C_{n-1}^2)^2+\ldots+(C_{n-1}^{n-1})^2=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2\)

\(=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2=C_{2n-2}^{n-1}\)

Do đó: \(S = n^2 C_{2n-2}^{n-1}\)

\(=2020^2C_{2(2020)-2}^{2020-1}=2020^2C_{4038}^{2019}\)