\(x^2 + y^2 + xy = 3\)

=>\(x^2+y^2+2xy-xy=3\)

=>\(\left(x+y\right)^2=xy+3\)

Đặt v=xy

=>\(\left(x+y\right)^2=v+3\)

\(S = x^4 + xy + y^4\)

\(=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+xy=\left(3-v\right)^2-2v^2+v\)

\(=v^2-6v+9-2v^2+v=-v^2-5v+9\)

Điều kiện để tồn tại hai số thực x,y thỏa mãn u=x+y và v=xy là \(u^2\ge4v\)

=>3+v>=4v

=>3>=3v

=>v<=1

\(u^2=3+v\ge0\)

=>v>=-3

=>-3<=v<=1

Xét hàm số \(f(v) = -v^2 - 5v + 9\) trên tập [-3;1]

f'(v)=-2v-5

Đặt f'(v)=0

=>-2v-5=0

=>2v+5=0

=>v=-5/2∈[-3;1]

\(f(-2.5) = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) + 9 = -6.25 + 12.5 + 9 = 15.25 = \frac{61}{4}\)

\(f(-3) = -(-3)^2 - 5(-3) + 9 = -9 + 15 + 9 = 15\)

\(f(1) = -(1)^2 - 5(1) + 9 = -1 - 5 + 9 = 3\)

Do đó: f(v) max=61/4 khi v=-2,5; f(v) min=3 khi v=1

=>S max=61/4; S min=3

a) A = x( 5 - 3x ) = -3x² + 5x = -3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 25/12

= -3( x - 5/6 )² + 25/12 ≤ +25/12 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 5/6

Vậy MaxA = 25/12 <=> x = 5/6

b) Từ x + y = 7 => x = 7 - y

Ta có : xy = ( 7 - y ).y = 7y - y² = -( y² - 7y + 49/4 ) + 49/4 = -( y - 7/2 )² + 49/4 ≤ 49/4 ∀ y

Dấu "=" xảy ra <=> y = 7/2 => x = 7/2

Vậy Max(xy) = 49/4 <=> x = y = 7/2

( nếu cho x,y dương thì Cauchy nhanh gọn luôn :)) )

1. Ta có: $x+y+4=0 \Rightarrow x+y=-4$.

Xét: $A=2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+10xy$.

Ta có: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ nên: $x^3+y^3=(-4)^3-3xy(-4)=-64+12xy$.

Lại có: $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-2xy$.

Thay vào biểu thức $A$:

$A=2(-64+12xy)+3(16-2xy)+10xy$

$=-128+24xy+48-6xy+10xy$

$=-80+28xy$.

Ta có: $(x-y)^2\ge0$

$\Rightarrow (x+y)^2-4xy\ge0$

$\Rightarrow 16-4xy\ge0$

$\Rightarrow xy\le4$.

=> $A=-80+28xy\le-80+28\cdot4=32$.

Dấu “=” xảy ra khi: $x=y=-2$.

Vậy: $\boxed{A_{max}=32}$.

2. Đặt: $t=xy$.

Ta có: $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$.

Mà: $x^2+y^2\ge2xy=2t$ nên: $x^4+y^4\ge(2t)^2-2t^2=2t^2$.

Theo giả thiết: $x^4+y^4-7=xy(3-2xy)$

$\Rightarrow x^4+y^4-7=t(3-2t)$.

Do đó: $2t^2-7\le3t-2t^2$

$\Rightarrow 4t^2-3t-7\le0$.

Giải bất phương trình:

$4t^2-3t-7=0$

$\Rightarrow \Delta =(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)=121$

$\Rightarrow \sqrt\Delta=11$.

Suy ra: $t=\dfrac{3\pm11}{8}$

$\Rightarrow t=-1$ hoặc $t=\dfrac74$.

Vì: $4t^2-3t-7\le0$ nên: $-1\le t\le\dfrac74$.

Vậy: $\boxed{M_{min}=-1}$.

Bài 1:

$xy+3=x+y$

$\Leftrightarrow xy-x-y+3=0$

$\Leftrightarrow x(y-1)-(y-1)+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+2=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=-2$
Vì $x,y$ nguyên nên $x-1, y-1$ nguyên. Khi đó:

$(x-1, y-1)=(2, -1), (-2, 1), (1, -2), (-1, 2)$
Đến đây bạn dễ dàng tìm được giá trị $x,y$ thỏa mãn.

Bài 2:

$x+y=3\Rightarrow y=3-x$. Khi đó:

$A=xy=x(3-x)=3x-x^2$

$-A=x^2-3x=(x^2-3x+1,5^2)-1,5^2=(x-1,5)^2-\frac{9}{4}\geq \frac{-9}{4}$

$\Rightarrow A\leq \frac{9}{4}$

Vậy $A_{\max}=\frac{9}{4}$ 

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y=2xy\cdot x=x\)( vì \(xy=1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{x}=1\)

Hoan toàn tương tự : \(\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{y}{y}=1\)

Khi đó :

\(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\le1+1=2\)

Hay \(A\le2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^2\\x^2=y^4\\xy=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}}\)

Thêm đk x,y>0

*Tìm giá trị lớn nhất:

\(A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{x}{2xy.x}+\frac{y}{2xy.y}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=' xảy ra khi x = y = 1

P/s: Bài này hình như không có Min thì phải.:>