Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Theo BĐT Cosy, ta có: \(a + b \ge 2\sqrt{ab} \implies \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}\)

=>\(\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\)

=>ab<=1/4

=>0<ab<=1/4

Đặt t=ab

Xét hàm số \(f(t)=t+\frac{1}{t};\text{ }t\in\left(0,\frac{1}{4}\right]\)

\(f^{\prime}(t)=1-\frac{1}{t^2}=\frac{t^2 - 1}{t^2}<0\forall t\in\) (0;1/4]

=>f(t) nghịch biến trên khoảng (0;1/4]

=>\(\min_{\left(0, \frac{1}{4}\right]} f(t) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}\)

=>M min=17/4 khi ab=1/4 và a+b=1

=>a=b=1/2

Ta có:\(A=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\)

\(A=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\)

\(A\ge\dfrac{1}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}\)

\(A\ge2+4=6\)

"="<=>a=b=0,5

Vậy MINA=6<=>a=b=0,5

\(D=\frac{3}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}=3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{2ab}\)

\(\Rightarrow D\ge\frac{3.4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{1}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{12}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=14\)

\(\Rightarrow D_{min}=14\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)