a) Gọi đường thẳng đi qua M(3;4) và song song với \(\left(d\right):y=2x+6\)là \(\left(d'\right):y=a'x+b'\)

Vì \(\left(d'\right)//\left(d\right)\Rightarrow a'=2\)

Vậy phương trình đường thẳng (d') có dạng \(\left(d'\right):y=2x+b'\)

Mặt khác (d') đi qua M(3;4) nên điểm M(3;4) thuộc \(\left(d'\right):y=2x+b'\)

Thay \(x=3;y=4\)vào hàm số \(y=2x+b'\)ta có:

\(4=2.3+b'\Leftrightarrow b'=-2\)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua M(3;4) và song song với \(\left(d\right):y=2x+6\)là \(\left(d'\right):y=2x-2\)

b) Gọi OH là khoảng cách từ O đến (d). Gọi giao điểm của (d):y = 2x + 6 với hai trục Ox, Oy lần lượt là A(x_A;0), B(0;y_B).

Thay x = x_A; y = 0 vào hàm số y = 2x + 6, ta có: \(0=2x_A+6\Leftrightarrow x_A=-3\)

Thay x = 0; y = y_B vào hàm số y = 2x + 6, ta có: \(y_B=2.0+6=6\)

Vì \(OA=\left|x_A\right|;OB=\left|y_B\right|\)\(\Rightarrow OA=\left|-3\right|=3;OB=\left|6\right|=6\)

\(\Delta OAB\)vuông tại O, đường cao OH \(\Rightarrow\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\left(htl\right)\)

Rồi bạn thay OA, OB vào và dễ dàng tính được OH

Gọi 

Do

Dấu bằng đạt tại 

Chọn đáp án A.

Thay x=2 và y=6 vào (d), ta được:

2(m+2)+2m-6=6

=>4m+4+2m-6=6

=>6m-2=6

=>6m=8

=>\(m=\dfrac{4}{3}\)

Khi m=4/3 thì (d): \(y=\left(\dfrac{4}{3}+2\right)x+2\cdot\dfrac{4}{3}-6=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{10}{3}\)

Gọi A(x,y) và B(x,y) lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và Oy

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{10}{3}x-\dfrac{10}{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{10}{3}x=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

=>x=1 và y=0

=>A(1;0)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{10}{3}\cdot0-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(B\left(0;-\dfrac{10}{3}\right)\)

O(0;0); A(1;0); B(0;-10/3)

=>\(OA=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=1\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}-0\right)^2}=\dfrac{10}{3}\)

\(AB=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}-0\right)^2}=\dfrac{\sqrt{109}}{3}\)

Vì \(OA^2+OB^2=AB^2\)

nên ΔOAB vuông tại O

Kẻ OH vuông góc AB tại H

=>OH là khoảng cách từ O đến (d)

Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao

nên \(OH\cdot AB=OA\cdot OB\)

\(\Leftrightarrow OH\cdot\dfrac{\sqrt{109}}{3}=1\cdot\dfrac{10}{3}\)

=>\(OH=\dfrac{10}{\sqrt{109}}\)

=>\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{10}{\sqrt{109}}\)

9T1

9T1

a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

a: y=(2m-3)x-1

=>(2m-3)x-y-1=0

Khoảng cách từ O đến (1) là:

d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

=>\(\left(2m-3\right)^2+1=5\)

=>\(\left(2m-3\right)^2=4\)

=>2m-3=2 hoặc 2m-3=-2

=>2m=5 hoặc 2m=1

=>m=5/2 hoặc m=1/2

b: d(O;(1))=\(\frac{\left|0\left(2m-3\right)+0\cdot\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}}\)

Để d(O;(1)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(2m-3\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>2m-3=0

=>2m=3

=>m=3/2

a:Thay x=-2 và y=0 vào (d), ta được:

-2(m-1)+4=0

=>-2(m-1)=-4

=>m-1=2

=>m=3

b: (d): y=2x+4

(d): y=(m+2)x+2m+3

=>(m+2)x-y+2m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

d(O;(d))=\(\frac{\left|0\cdot\left(m+2\right)+0\cdot\left(-1\right)+2m+3\right|}{\sqrt{\left(m+2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|2m+3\right|}{\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d)) lớn nhất thì m+2=0

=>m=-2

a: y=m(2x-1)+3-2x

=>y=2mx-m+3-2x

=>y=x(2m-2)-m+3

=>x(2m-2)-y-m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)-m+3\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{4m^2-8m+5}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\left|m-3\right|=\sqrt{4m^2-8m+5}\)

=>\(4m^2-8m+5=m^2-6m+9\)

=>\(3m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-\frac23m-\frac43=0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac13+\frac19-\frac{13}{9}=0\)

=>\(\left(m-\frac13\right)^2=\frac{13}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac13=\frac{\sqrt{13}}{3}\\ m-\frac13=-\frac{\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{\sqrt{13}+1}{3}\\ m=\frac{-\sqrt{13}+1}{3}\end{array}\right.\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(4m^2-8m+5\) nhỏ nhất

=>\(4m^2-8m+4+1\) nhỏ nhất

=>\(\left(2m-2\right)^2+1\) nhỏ nhất

mà \(\left(2m-2\right)^2+1\ge1\forall m\)

nên dấu '=' xảy ra khi 2m-2=0

=>2m=2

=>m=1