Ta có: \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)

\(a^3 + b^3 + 6ab \le 8\)

=>\((a + b)^3 - 3ab(a + b) + 6ab \le 8\)

\(\iff(a+b)^3-8-3ab(a+b-2)\le8\)

\(\iff(a+b-2)\left[(a+b)^2+2(a+b)+4\right]-3ab(a+b-2)\le0\)

\(\iff(a+b-2)\left[(a+b)^2+2(a+b)+4-3ab\right]\le0\)

Ta có: \((a+b)^2-3ab\)

\(=a^2-ab+b^2\)

\(=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}>0\quad(\text{ }a,b>0)\)

=>\((a+b)^2+2(a+b)+4-3ab>0\)

Do đó: a+b-2<=0

=>a+b<=2

Theo Cauchy, ta có: \(2 \ge a + b \ge 2\sqrt{ab} \implies \sqrt{ab} \le 1 \implies ab \le 1\)

\(P = \left( \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{1}{2ab} \right) + \frac{5}{2ab} + ab\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\frac{1}{a^2 + b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{(1 + 1)^2}{a^2 + b^2 + 2ab}=\frac{4}{(a + b)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

\(\frac{5}{2ab} = \frac{1}{ab} + \frac{3}{2ab}\)

\(ab + \frac{1}{ab} \ge 2\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}} = 2\)

mà ab<=1 nên \(\frac{3}{2ab} \ge \frac{3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\)

\(P = \left( \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{1}{2ab} \right) + \left( ab + \frac{1}{ab} \right) + \frac{3}{2ab}\)

=>\(P \ge 1 + 2 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b; a+b=2; ab=1

=>a=b=1

tks bn

a)Áp dụng BĐT B.C.S:(1^2+1^2)(x^2+y^2)>=(1.x+1.y)^2>>>2(x^2+y^2)>=(x+y)^2.Sau đó chia 2 ở cả 2 vế.

Áp dụng BĐT Cô-si:(x+y)>=2√xy >>>>(x+y)^2/2>=2xy(đpcm)

b)a^2+1/(a^2+1)=a^2+1+1/(a^2+1)-1>=2-1=1(BĐT Cô-si)

c)a^2+b^2>=2ab suy ra (a^2+b^2)c>=2abc,tương tự rồi cộng lại là >=6abc nhé

d)ab/a+b<=(a+b)^2/4(a+b)(cm ở câu a)=(a+b)/4

Tương tự cộng lại được ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a<=(a+b+b+c+c+a)/4=(a+b+c)/2(đpcm)

a)\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}\cdot8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_B=7\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b)\(C\ge\frac{1}{1-3ab\left(a+b\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)

\(\ge\frac{16}{1-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^3}{4}}\ge16+4=20\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_C=20\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Từ \(a+b+ab=3\Rightarrow a+b=3-ab\ge3-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)

Biến đổi bài toán như sau: 

\(P=\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}-a^2-b^2\le\frac{3}{2}\)

Tức là chứng minh \(\frac{3}{2}\) là GTLN của \(P\)

\(P=\frac{3\left(a^2+b^2\right)+3\left(a+b\right)}{ab+a+b+1}+\frac{3-a-b}{a+b}-\left(a+b\right)^2++2\left(3-a-b\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left[3\left(a+b\right)^2-6\left(3-a-b\right)+3\left(a+b\right)\right]\)

\(+\frac{3}{a+b}-1-\left(a+b\right)^2+6-2\left(a+b\right)\)

Khảo sat đồ thì trên \(a+b\ge2\) tìm tìm được \(P_{Max}=\frac{3}{2}\)

P/s:giờ mk đi ngủ, mệt r` chỗ nào khó hiểu mai hỏi :D

ta có: \(VT=\frac{a\left(a+b+ab\right)}{b+1}+\frac{b\left(a+b+ab\right)}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\)

\(=a^2+b^2+\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\)

cần cm \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}\)

theo giả thiết \(4=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ab+a+b}{a+b}-1=\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{2}-1\)(*)

\(\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(b+ab\right)+\frac{1}{4}\left(a+ab\right)=\frac{1}{4}\left(3+ab\right)\)(**)

giờ cần tìm max ab.để ý rằng \(ab=ab+a+b-\left(a+b\right)=3-\left(a+b\right)\le3-2=1\)

khi đó \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}\left(3+1\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=1