2:

a: y1+y2=-(x1+x2)=-5

y1*y2=(-x1)(-x2)=x1x2=6

Phương trình cần tìm có dạng là;

x^2+5x+6=0

b: y1+y2=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=5/6

y1*y2=1/x1*1/x2=1/x1x2=1/6

Phương trình cần tìm là:

a^2-5/6a+1/6=0

Ta thấy pt(1) có nghiệm do ac = -1 < 0

Gọi x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , ta có : x₁ + x₂ = -5 ; x₁x₂ =-1

Gọi y₁ ; y₂ là các nghiệm của pt cần lập , ta được : y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂² ; y₁y₂ = x₁⁴ . x₂⁴

Ta có : y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂⁴ = ( x₁² + x₂² )² - 2x₁².x₂²

= [( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ ]² - 2(x₁x₂)² = 729 - 2 = 727

y₁.y₂ = x₁⁴ . x₂⁴ = ( x₁ . x₂ )⁴ = 1

Vậy pt cần lập là y² - 727y + 1 = 0

\(\Delta=5^2+4=29>0\)nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)

\(x_1^4x_2^4=\left(-1\right)^4=1\)

\(x_1^4+x_2^4=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2\)

\(=\left(25+2\right)^2-2=727\)

Theo định lí Viete đảo, phương trình bậc hai nhận \(x_1^4,x_2^4\)là nghiệm là: 

\(X^2-727X+1=0\)

Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)

Ta có \(S=y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

                                                                           \(=-\frac{5}{3}+\frac{\frac{-5}{3}}{-2}=-\frac{5}{6}\)

       \(P=x_1x_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=-2+2+\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)

Khi đó y₁ ; y₂ là nghiệm của pt

\(Y^2-SY+P=0\) 

\(\Leftrightarrow Y^2+\frac{5}{6}Y-\frac{1}{2}=0\)

\(\Delta'=1+m^2-1=m^2>0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2+1\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2x_1-m^2+1=0\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1+x_1=0\)

\(\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1=-x_1\)

Thế vào bài toán:

\(\left(2x_1-x_2\right)\left(-x_1+2x_2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-8+9\left(-m^2+1\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Rightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)

\(a,\) \(x^2+5x-3m=0\left(1\right)\)

 \(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac=5^2-4.\left(-3m\right)=12m+25\)

\(Để\) phương trình \((1)\) có 2 nghiệm  \(x_1,x_2\) ta có :

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Rightarrow12m+25\ge0\)

\(\Rightarrow12m\ge-25\Rightarrow m\ge\dfrac{-25}{12}\)

a) x²+5x−3m=0 ⇒Δ=b²−4ac=52−4·(−3m)=12m+25

Để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ ta có :

⇔Δ≥0⇒12m+25≥0

⇒12m≥−25

⇒m≥$\frac{-25}{12}$

b) Theo Viète ta có:

$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=-5} \atop {x_{1}x_{2}=-3m}} \right. $

Ta có: $\frac{2}{x_{1}}$ + $\frac{2}{x_{2}}$ = $\frac{2x_{1} + 2x_{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}$ = $\frac{2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}{(x_{1}x_{1})^{2}}$ = $\frac{50+12m}{9m^2}$

$\frac{2}{x_{1}}$ · $\frac{2}{x_{2}}$ = $\frac{4}{(x_{1}x_{1})^{2}}$ =$\frac{4}{9m^2}$

Vậy $\frac{2}{x_{1}}$ và $\frac{2}{x_{2}}$ là 2 $n_{0}$ của phương trình:

${x^2}$ - $\frac{50+12m}{9m^2}$ $x$ + $\frac{4}{9m^2}$ = 0

x1+x2=3; x1*x2=-7

B=(x1+x2)^2-2x1x2

=9-2*(-7)=23

D=(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)

=3^3-3*(-7)*3

=27+63=90

F=9x1x2+3(x1^2+x2^2)+x1x2

=10x1x2+3*23

=10*(-7)+69

=-1

\(C=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=\sqrt{3^2-4\cdot\left(-7\right)}=\sqrt{37}\)

mong bạn có thể giải thích chi tiết hơn

a: Khim=0 thì (1) trở thành \(x^2-2=0\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)

Khi m=1 thì (1) trở thành \(x^2-2x=0\)

=>x=0 hoặc x=2

b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+8=4\left(m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

a, \(\Delta'=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm 

b, để pt có 2 nghiệm pb khi m khác 1 

c, để pt có nghiệm kép khi m = 1 

d. Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\left(1\right)\\x_1x_2=2m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1-2x_2=0\left(3\right)\)

Từ (1) ; (3) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m\\x_1=2m-x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m-3\\x_1=2m-2m+3=3\end{matrix}\right.\)

Thay vào (2) ta được \(6m-9=2m-1\Leftrightarrow m=2\)

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}5x-3y+2=0\\ 4x-3y+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}5x-3y=-2\\ 4x-3y=-1\end{cases}\)

=>5x-3y-4x+3y=-2+1 và 4x-3y=-1

=>x=-1 và 3y=4x+1=4*(-1)+1=-3

=>x=-1 và y=-1

=>A(-1;-1)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}5x-3y+2=0\\ 7x+2y-22=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}5x-3y=-2\\ 7x+2y=22\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}10x-6y=-4\\ 21x+6y=66\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}10x-6y+21x+6y=-4+66\\ 5x-3y=-2\end{cases}\)

=>31x=62 và 3y=5x+2

=>x=2 và 3y=5*2+2=12

=>x=2 và y=4

=>B(2;4)

A'A⊥BC

mà A'A: 4x-3y+1=0

nên BC: 3x+4y+c=0

Thay x=2 và y=4 vào 3x+4y+c=0, ta được:

\(3\cdot2+4\cdot4+c=0\)

=>c+6+16=0

=>c=-22

=>BC: 3x+4y-22=0

B'B⊥AC

mà B'B: 7x+2y-22=0

nên AC: 2x-7y+c=0

Thay x=-1 và y=-1 vào 2x-7y+c=0, ta được:

\(2\cdot\left(-1\right)-7\cdot\left(-1\right)+c=0\)

=>-2+7+c=0

=>c+5=0

=>c=-5

=>AC: 2x-7y-5=0

Tọa độ C là:

3x+4y-22=0 và 2x-7y-5=0

=>3x+4y=22 và 2x-7y=5

=>6x+8y=44 và 6x-21y=15

=>6x+8y-6x+21y=44-15 và 3x+4y=22

=>29y=29 và 3x=22-4y

=>y=1 và 3x=22-4=18

=>x=6 và y=1

=>C(6;1)

AB: 5x-3y+2=0

=>C'C: 3x+5y+c=0

Thay x=6 và y=1 vào 3x+5y+c=0, ta được:

\(3\cdot6+5\cdot1+c=0\)

=>c+18+5=0

=>c=-23

=>C'C: 3x+5y-23=0