Qua A dựng đường thẳng d song song BC, trên d lấy điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{BC}\Rightarrow3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right)\right|=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{3}BC\)

Tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính \(\dfrac{BC}{3}\)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\\\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện đề bài, ta có \(MG=MI\). Do đó M nằm trên đường trung trực của GI (cố định).

Vậy tập hợp điểm M thoả điều kiện đề bài là trung trực của đoạn GI.

(1): Gọi G là trọng tâm của ΔABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC

Theo đề, ta có: AM=3; BN=3/2; \(S_{ABC}=3\)

Xét ΔABC có

AM,BN là các đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: G là giao điểm của AM và BN

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(AG=\frac23AM=\frac23\cdot3=2\)

Xét ΔABC có

BN là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(BG=\frac23BN=\frac23\cdot\frac32=1\)

G là trọng tâm của ΔABC

=>\(S_{BGA}=\frac13\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot3=1\)

=>\(\frac12\cdot GA\cdot GB\cdot\sin AGB=1\)

=>\(\frac12\cdot2\cdot1\cdot\sin AGB=1\)

=>sinAGB=1

=>\(\hat{AGB}=90^0\)

=>AM⊥BN tại G

ΔGAB vuông tại G

=>\(GA^2+GB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=1^2+2^2=5\)

=>\(c=AB=\sqrt5\)

Gọi K là trung điểm của AB

=>\(GK=\frac13\cdot m_{C}\)

ΔGAB vuông tại G

mà GK là đường trung tuyến

nên \(GK=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt5}{2}\)

=>\(m_{C}=\frac{3\sqrt5}{2}\)

Xét ΔABC có AM,BN là các đường trung tuyến

nên \(MA^2=m_{a}^2=\frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}\) và \(BN^2=m_{b}^2=\frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4}\)

=>\(m_a^2 + m_b^2 = \frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)

Xét ΔABC có CK là đường trung tuyến

nên \(CK^2=m_{c}^2=\frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}\implies2(a^2+b^2)=4m_{c}^2+c^2\)

=>\(4m_c^2 + c^2 = 4 \cdot \frac{45}{4} + 5 = 50 \implies a^2 + b^2 = 25\)

\(m_{a}^2+m_{b}^2=\frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)

\(m_{a}^2+m_{b}^2=\) \(3^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25 + 4(5)}{4}=\frac{45}{4}\quad\)

\(m_{a}^2-m_{b}^2=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)

\(\implies9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)

\(\implies b^2-a^2=9\)

Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}a^2+b^2=25\\ b^2-a^2=9\end{cases}\)

=>\(2a^2=16\)

\(\implies a^2=8\)

\(\implies a=2\sqrt{2}\)

(2): \(a^2 = \frac{8}{9}(m_b^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_a^2\)

=>\(a^2=\frac{8}{9}(2+3)-\frac{4}{9}(1)=\frac{36}{9}=4\)

=>a=2

\(b^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_b^2\)

=>\(b^2 = \frac{8}{9}(1 + 3) - \frac{4}{9}(2) = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\)

\(c^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_b^2) - \frac{4}{9} m_c^2\)

=>\(c^2 = \frac{8}{9}(1 + 2) - \frac{4}{9}(3) = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\frac{8}{3} + \frac{4}{3} - 4}{2 \cdot \sqrt{\frac{8}{3}} \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} = \frac{0}{2bc} = 0\)

\(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4 + \frac{4}{3} - \frac{8}{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Do I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\)

\(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=3.\left|2\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow2.\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow6\left|\overrightarrow{MG}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=MI\)

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng IG

a. Xem lại đề bài, trị tuyệt đối đầu tiên 2 biểu thức MC trừ đi nhau thấy ko đúng

b. Gọi D là trung điểm AB, E là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) DE là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{DE}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow2\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{DE}\) (do D là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\))

\(\Rightarrow\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DE}\Rightarrow D\) là trung điểm ME

\(\Rightarrow\) M là điểm đối xứng E qua D