Tìm các số nguyên dương x, y, z thoã mãn 3^x+2^y=1+2^z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
0
LN
26 tháng 3 2020
Ta có biểu thức:
\(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
\(=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z^2}{z^2+1}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x^2}{x^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y}{2}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z}{2}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow Q\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow Q\ge6-\frac{xy+yz+xz+3}{2}\)
Mà \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow Q\ge6-\frac{3+3}{2}=3\)
Vậy Min Q=3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
27 tháng 1
Bài 1:
xy+2x-3y=1
=>x(y+2)-3y-6=1-6
=>x(y+2)-3(y+2)=-5
=>(x-3)(y+2)=-5
=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}
=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
28 tháng 1
Bài 1:
xy+2x-3y=1
=>x(y+2)-3y-6=1-6
=>x(y+2)-3(y+2)=-5
=>(x-3)(y+2)=-5
=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}
=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}
D
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
24 tháng 9
a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)
=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)
=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)
=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)
\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)
\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)
=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)
TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)
=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)
=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)
=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)
=>Loại
TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)
=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)
=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)
=>Loại
TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)
=>(y+3)(y-2)=0
=>y=-3 hoặc y=2
Nếu y=-3 thì x-y+1=3
=>x-y=2
=>x-(-3)=2
=>x+3=2
=>x=-1
Nếu y=2 thì x-y+1=3
=>x-2+1=3
=>x-1=3
=>x=4
TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)
=>y∈∅
=>Loại
Ta thấy [TEX]y \geq 1[/TEX].
+ Nếu [TEX]y=1[/TEX] thì ta có [TEX]3^x=2^z-1[/TEX].
Xét tính chia hết cho 3 dễ thấy [TEX]z \vdots 2[/TEX]. Đặt [TEX]z=2k (k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
Ta có: [TEX]3^x=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)[/TEX]
Đặt [TEX]2^k-1=3^m, 2^k+1=3^n (m,n \in \mathbb{N}^*; m+n=z) [/TEX]
Ta có: [TEX]3^n-3^m=2 \Rightarrow n=1, m=1 \Rightarrow z=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z=1[/TEX]. Từ đó ta có bộ [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX]
+ Nếu [TEX]y \geq 2[/TEX] thì ta có [TEX]2^z-2^y=3^x-1 > 0 \Rightarrow z >y[/TEX]
Lại có: [TEX]z>y \geq 2 \Rightarrow 3^x-1 \vdots 4 \Rightarrow x \vdots 2[/TEX]
Khi đó nếu [TEX]y \geq 4[/TEX] thì [TEX]3^x-1 \vdots 16 \Rightarrow x \vdots 4[/TEX]
[TEX]x=4q\Rightarrow 2^z-2^y=81^q-1\equiv 0(\text{mod 5})\Rightarrow 2^z-2^y\vdots 5\Rightarrow 2^y(2^{z-y}-1)\vdots 5[/TEX]
Từ đó [TEX]2^{z-y}-1 \vdots 5 \Rightarrow z-y=4k+2 \Rightarrow z-y \vdots 2 \Rightarrow 2^{z-y}-1 \vdots 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3^x-1 \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Suy ra [TEX]2 \leq y \leq 3[/TEX].
Nếu [TEX]y=2[/TEX] thì [TEX]3^x+3 =2^z \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Nếu [TEX]y=3[/TEX] thì [TEX]3^x+7=2^z[/TEX]. Xét đồng dư với 3 nên [TEX]z \vdots 2[/TEX].
Đặt [TEX]x=2m,z=2n \Rightarrow 2^{2n}-3^{2m}=7 \Rightarrow (2^n-3^m)(2^n+3^m)=7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n-3^m=1,2^n+3^m=7 \Rightarrow n=2,m=1 \Rightarrow x=2,z=4[/TEX]
Vậy [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX] hoặc [TEX](x,y,z)=(2,3,4)[/TEX]