Đề bài vô lý bạn, \(h_a=h_b=h_c\Rightarrow\) tam giác đều

Thì \(cosB=\frac{7}{8}\) là vô lý

bạn ơi, mình ghi đề lộn, thực ra là \(h_b=h_a+h_c\)

Đặt \(x=h_{a};y=h_{b};z=h_{c}\)

Theo đề, ta có: 3x=4y=6z

=>\(\frac{3x}{12}=\frac{4y}{12}=\frac{6z}{12}\)

=>\(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\)

Theo đề, ta có: x-y+z=25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}=\frac{x-y+z}{4-3+2}=\frac{25}{3}\)

=>\(x=\frac{25}{3}\cdot4=\frac{100}{3}\) (m)

Diện tích mảnh đất là: \(3\cdot\frac{100}{3}:2=\frac{100}{2}=50\left(m^2\right)\)

\(\dfrac{h_b}{h_a^2}+\dfrac{h_c}{h_b^2}+\dfrac{h_a}{h_c^2}=\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{b}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{c}}{\dfrac{4S^2_{ABC}}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{a}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{c^2}}\)

\(=\dfrac{a^2}{2bS_{ABC}}+\dfrac{b^2}{2cS_{ABC}}+\dfrac{c^2}{2aS_{ABC}}\)

\(=\dfrac{1}{2S_{ABC}}\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{2.\dfrac{a+b+c}{2}r}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{1}{r}\)

Hình như có dấu = chứ nhỉ

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

sorry em lp 6 nen ko hieu

\(a=2b-2c\Rightarrow sinA.2R=2sinB.2R-2sinC.2R\)

\(\Rightarrow sinA=2sinB-2sinC\)

\(ah_a=bh_b=ch_c\Rightarrow\left(2b-2c\right)h_a=bh_b=ch_c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{b}.\dfrac{1}{h_b}\\\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{c}.\dfrac{1}{h_c}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_c}+\left(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\right)\)

Câu này đề sai tiếp, biểu thức \(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\) kia không thể bằng 0

A B C a b c

Có \(\sin\widehat{A}=\frac{h_c}{b}=\frac{h_b}{c}=\frac{h_c-h_b}{b-c}=\frac{h_b-h_c}{\frac{a}{k}}=\frac{k\left(h_b-h_c\right)}{a}\) (1) 

Lại có : \(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\sin\widehat{B}-\sin\widehat{C}\right)=\frac{k\left(h_c-h_b\right)}{a}\) (2) 

(1) (2) ... 

\(\sin\widehat{B}=\frac{h_a}{c}\)\(;\)\(\sin\widehat{C}=\frac{h_a}{b}\) (1) 

\(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}h_c=\sin\widehat{B}.a\\h_b=\sin\widehat{C}.a\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)\) (2)  

Thay (1) vào (2) ta được \(\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{b}{h_a}-\frac{c}{h_a}\right)=\frac{k}{a}.\frac{\frac{a}{k}}{h_a}=\frac{1}{h_a}\)

đpcm 

Theo đề bài thì ta có:

\(ah_a=bh_b=ch_c=2\)

Ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\ge\left(ah_a+bh_b+ch_c\right)^2\)

\(=\left(2+2+2\right)^2=36\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\\h_a=h_b=h_c=\sqrt[4]{3}\end{cases}}\)