TH1: m + 1 = 0 <=>  m = -1 

Khi đó bpt trở thành: -x - 1 < 0 <=> x > - 1 loại

TH2: m + 1 \(\ne\)0 <=> m\(\ne\)-1

Bất phương trình đúng với mọi số thực x 

<=> \(\hept{\begin{cases}m+1< 0\\\Delta< 0\end{cases}}\)

+) Giải: m + 1 < 0 <=> m < -1 (1)

+) Giải: \(\Delta< 0\)<=> \(m^2-4m\left(m+1\right)< 0\)

<=> \(-3m^2-4m< 0\)

<=> m > 0 hoặc m < -4/3 (2)

Từ (1) ; (2) ta có: m < -4/3

1, y' = \(\dfrac{m^2-9}{\left(3x-m\right)^2}\)

ycbt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-9< 0\\\dfrac{m}{-3}\ne x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< 3\\m\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le m\le3\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=-x^2-x\)

Thay vào (2)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2-\left(x^2+x\right)x+1=0\\ \Leftrightarrow1-x^3=0\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)=0\\ \Leftrightarrow x=1\left(x^2+x+1>0\right)\\ \Leftrightarrow m=-1-1=-2\)

Trường hợp 1: m=0

Phương trình sẽ là \(-2\cdot\left(-1\right)x+0-2=0\)

=>2x-2=0

=>x=1

=>Loại

Trường hợp 2: m<>0

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m(m-2)<0

=>0<m<2

a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2mx+m^2-m+3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2m+m^2-m+3\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m^2-m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m+4\ne0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>3\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m>3\)

b.

Phương trình có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi: \(mx^2+3x+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\9m+9+m\ne0\\\Delta=9-4m^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{9}{10}\\-\dfrac{3}{2}< m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\begin{cases}\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\mx^2-2x+5<0\end{cases}\) (1)

\(\begin{cases}\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\mx^2-2x+5<0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}mx^2=x^2-3x-1\\x^2-3x-1-2x+5<0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}f\left(x\right):=\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\\x^2-5x+4<0\end{cases}\)

Mà  \(x^2-5x+4<0\)  (3) có tập nghiệm T=(1;4)

nên hệ (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình \(f\left(x\right):=\left(m-1\right)x^2+3x+1=0\) (2) có đúng một nghiệm \(x\in T\)

- Nếu m=1 thì (2) có nghiệm duy nhất \(x=-\frac{1}{3}\) không thuộc T

- Nếu \(m\ne1\) thì (2) là phương trình bậc 2 với \(\Delta=13-4m\)

              + Nếu \(\Delta=0\)  hay \(m=\frac{13}{4}\)  thì (2) có nghiệm \(x=-\frac{2}{3}\) không thuộc T

              +  Nếu \(\Delta>0\)  hay \(m<\frac{13}{4}\)  thì (2) có nghiệm duy nhất thuộc T khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau :

                                 \(x_1\)  \(\le\)1 < \(x_2\)  < 4  (a)

                             hoặc

                                1< \(x_1\)  <4  \(\le\)   \(x_2\)    (b)

                           # Nếu \(x_1\) = 1 \(\Leftrightarrow\) m-1+3+1=0 \(\Leftrightarrow\) m=-3 thì \(x_2=-\frac{1}{4}\) không thỏa mãn(a)

                            # Nễu \(x_2=4\) hay \(m=\frac{3}{16}\) thì \(x_1=-\frac{4}{13}\) không thỏa mãn (b)

Vậy ta phải có 

                                     \(x_1\)  <1 < \(x_2\)  < 4 

                               hoặc 

                                     1< \(x_1\)  <4  <   \(x_2\)  

\(\Leftrightarrow\) \(f\left(1\right)f\left(4\right)<0\)

\(\Leftrightarrow\) (m+3)(16m-3) <0

\(\Leftrightarrow\) -3<m<\(\frac{3}{16}\)  Thỏa mãn điều kiện \(\Delta>0\)

Tóm lại -3<m<\(\frac{3}{16}\)  là các giá trị cần tìm

\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4m\left(m+1\right)\\ =4\left(m^2+2m+1\right)-4m^2-4m\\ =4m^2+8m+4-4m^2-4m\\ =4m+4\)

Để pt vô nghiệm thì \(4m+4< 0\\ \Rightarrow m< -1\)

Trường hợp 1: m=0

BPT sẽ là -4x-5>0

=>Loại

Trường hợp 2: m<>0

Để BPT vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4m+4\right)^2-4m\left(m-5\right)< =0\\m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16m^2+32m+16-16m^2+20< =0\\m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}32m+36< =0\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< =-\dfrac{9}{8}\)