Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

Do đó: MP là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MP//AC và \(MP=\dfrac{AC}{2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có

N là trung điểm của AC

P là trung điểm của BC

Do đó: NP là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NP//AB và \(NP=\dfrac{AB}{2}=2.5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔSAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SC
=>PQ là đường trung bình của ΔSAC
=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

Ta có: MN//AC
PQ//AC

Do đó: MN=PQ

Ta có: \(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=PQ

Xét tứ giác MNQP có

MN//QP

MN=QP

Do đó: MNQP là hình bình hành

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=BC/2=5(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot6\cdot8=\frac12\cdot48=24\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\frac{AB}{2}\)

NP//AB

=>NP//AM và NP//BM

\(NP=\frac{AB}{2}\)

\(MA=MB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: NP=MA=MB

Xét tứ giác AMPN có

AM//PN

AM=PN

Do đó: AMPN là hình bình hành

Hình bình hành AMPN có \(\hat{MAN}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

c: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP=PB=PC=BC/2

Xét tứ giác APCE có

N là trung điểm chung của AC và PE

=>APCE là hình bình hành

Hình bình hành APCE có AP=PC

nên APCE là hình thoi

d: Hình thoi APCE trở thành hình vuông khi AP⊥PC

=>AP⊥BC

Xét ΔABC có

AP là đường cao

AP là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

e: PN=AM

mà PN=1/2PE và AM=1/2AB

nên AB=PE

Xét tứ giác ABPE có

AB//PE

AB=PE

Do đó: ABPE là hình bình hành

=>AP cắt BE tại trung điểm của mỗi đường(1)

AMPN là hình chữ nhật

=>AP cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AP,BE,MN đồng quy

f: Xét tứ giác APBD có

M là trung điểm chung của AB và PD

=>APBD là hình bình hành

=>AD//BP

=>AD//BC

AECP là hình thoi

=>AE//CP

=>AE//CB

mà AD//BC

và AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

giúp mình với

a: Xét tứ giác APCQ có 

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của PQ

Do đó: APCQ là hình bình hành

Suy ra: AQ//PC 

hay AQ//BC(1)

Xét tứ giác AEBP có 

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của PE

Do đó: AEBP là hình bình hành

Suy ra: AE//BP

hay AE//BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra E,A,Q thẳng hàng

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

Xét ΔPAM vuông tại P và ΔQAM vuông tại Q có

AM chung

\(\widehat{PAM}=\widehat{QAM}\)

Do đó: ΔPAM=ΔQAM

=>PA=QA và MP=MQ

b: AP=AQ

=>A nằm trên đường trung trực của PQ(1)

MP=MQ

=>M nằm trên đường trung trực của PQ(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của PQ

=>AM\(\perp\)PQ

a, Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC hay MN//BP và \(MN=\dfrac{1}{2}BC=BP\)

Vậy BMNP là hbh

b, Vì BMNP là hbh mà I là trung điểm MP nên I là trung điểm BN

Vậy B,I,N thẳng hàng

a: Xét ΔABC có

AM/AB=AN/AC

Do đó: MN//BC

hay BMNC là hình thang

mà BN=CM

nên BMNC là hình thang cân

\(c,\) Vì AD//BP và AD=BP nên ADPB là hbh

Do đó O là trung điểm AP và BD

Xét tam giác ADP có DO và AN là trung tuyến giao tại G nên G là trọng tâm

Do đó \(DG=\dfrac{2}{3}DO\)

Mà \(DO=\dfrac{1}{2}BD\Rightarrow DG=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{3}BD\)

a, Vì N,P là trung điểm AB,BC nên NP là đtb tg ABC

Do đó NP//AB hay PQ//AM nên MAQP là hình thang

Và \(NP=\dfrac{1}{2}AB=AM\) (M là trung điểm AB)

Mà NP//AB nên NP//AM

Vậy MANP là hbh