cho.mình..nha

đặt\(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)

Khi đó điều kiện đb tương ứng

(x+y+z)3=24+x3+y3+z3(x+y+z)3=24+x3+y3+z3

⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24

⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24

⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1

Do đó ta có đpcm

Chúc bạn học tốt!

Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a>1; b>1/2; c>1/3 và \(\frac{1}{a} + \frac{2}{2b + 1} + \frac{3}{3c + 2} \ge 2 \quad (1)\)

Đặt x=a

=>x>1

=>x-1>0

Đặt y=2b+1

=>y>2*1/2+1=1+1=2

=>y-2>0

Đặt z=3c+2

=>z>3

=>z-3>0

P=(a-1)(2b-1)(3c-1)

=(x-1)(y-2)(z-3)

(1) =>\(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} \ge 2 \quad (2)\)

=>\(\frac{1}{x} \ge 2 - \frac{2}{y} - \frac{3}{z} = \left(1 - \frac{2}{y}\right) + \left(1 - \frac{3}{z}\right) = \frac{y - 2}{y} + \frac{z - 3}{z}\)

=>\(\frac{1}{x} \ge \frac{y - 2}{y} + \frac{z - 3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(y - 2)(z - 3)}{yz}} \quad (3)\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\frac{2}{y} \ge \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{3}{z}\right) = \frac{x - 1}{x} + \frac{z - 3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(x - 1)(z - 3)}{xz}} \quad (4)\)

\(\frac{3}{z} \ge \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{2}{y}\right) = \frac{x - 1}{x} + \frac{y - 2}{y} \ge 2\sqrt{\frac{(x - 1)(y - 2)}{xy}} \quad (5)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{y} \cdot \frac{3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(y - 2)(z - 3)}{yz}} \cdot 2\sqrt{\frac{(x - 1)(z - 3)}{xz}} \cdot 2\sqrt{\frac{(x - 1)(y - 2)}{xy}}\)

=>\(\frac{6}{xyz}\ge8\cdot\frac{(x - 1)(y - 2)(z - 3)}{xyz}\)

=>\(6\ge8(x-1)(y-2)(z-3)\)

=>\((x-1)(y-2)(z-3)\le\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

=>P<=3/4

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{y - 2}{y} = \dfrac{z - 3}{z} \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{3}{z} = 2 \end{cases}\)

Đặt \(\dfrac{x - 1}{x}=\dfrac{y - 2}{y}=\dfrac{z - 3}{z}=k\)

=>\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{z}=1-k\)

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=2\)

=>1-k+1-k+1-k=2

=>3-3k=2

=>3k=1

=>k=1/3

=>\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}=1-\frac13=\frac23\)

=>x=3/2 và y=3 và z=9/2

=>a=3/2; b=1; c=5/6