20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1  \(⋮\)321

vì 323=17.19

Ta thấy : 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1

            =(20ⁿ-1) + (16ⁿ-3ⁿ)

             20ⁿ-1\(⋮\)19 với n chẵn

 \(\Rightarrow\)(20ⁿ-1) + ( 16ⁿ -3ⁿ)\(⋮\)19      (1)

Mặt khác : 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1

              =( 20ⁿ-3ⁿ) + ( 16ⁿ-1)

               20ⁿ-3^n\(⋮\)17 với n chẵn 

               16ⁿ-1  \(⋮\)17 với n chẵn 

\(\Rightarrow\)(20ⁿ-3ⁿ) + ( 16ⁿ-1) \(⋮\)17     (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1 \(⋮\)17\(\times\)19

\(\Rightarrow\)20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1 \(⋮\)323 ( đpcm)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

Với n chẵn thì n = 2k

\(\Rightarrow16^{2k}-1=256^k-1=\left(256-1\right)\left(256^{k-1}+...\right)=255\left(256^{k-1}+...\right)=17.15.\left(256^{k-1}+...\right)\)

Chia hết cho 17

Với n lẻ thì n = 2k + 1

\(\Rightarrow16^{2k+1}-1=16\left(16^{2k}-1\right)+15\)không chia hết cho 17

Vậy 16ⁿ - 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n chẵn

\(256^{k-1}+....\) là gì vậy bạn nhìn khó hiểu vậy