tính M= 10x+4y+2019z với mọi x,y,z thỏa mãn 4x^2 + 4z^2 = 17, 4y(x+2)=5 và 20y^2 + 27=- 16z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
6 tháng 2 2021
Ta có: \(4x^2+4z^2=17\Rightarrow x^2+z^2=\frac{17}{4}\); \(4y\left(x+2\right)=5\Leftrightarrow2xy+4y=\frac{5}{2}\); \(20y^2+27=-16z\Rightarrow5y^2+4z=-\frac{27}{4}\)
\(\Rightarrow x^2+z^2-2xy-4y+5y^2+4z=-5\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(z^2+4z+4\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(z+2\right)^2+\left(2y-1\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=-2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow M=10.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{2}+2019.\left(-2\right)=-4031\)
15 tháng 4 2020
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+z^2=\frac{17}{4}\\2xy+4y=\frac{5}{2}\\5y^2+4z=-\frac{27}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+z^2-2xy-4y+5y^2+4z=-5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(z+2\right)^2+\left(2y-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\z=-2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M=...\)
19 tháng 3 2020
a/\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{x-1}+\frac{x^2-8x+4}{2x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x-4+\frac{x^2-8x+4}{2x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(2x+1\right)+x^2-8x+4=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-15x=0\Leftrightarrow x\left(x-5\right)=0.....\)Vậy x=0, x=5
23 tháng 8 2021
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
16 tháng 8
Đặt $a=2x,\quad b=3y,\quad c=4z.$
Khi đó $a^2+b^2+c^2=1.$
Ta có $A=\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}.$
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t}{1-t^2}\quad(0<t<1).$
Ta có $f''(t)=\dfrac{2t(3+t^2)}{(1-t^2)^3}>0.$
Do đó $f(t)$ là hàm lồi trên $(0;1)$.
Theo bất đẳng thức Jensen:
$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right).$
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy:
$(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=3$
$\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{3}\le\dfrac1{\sqrt3}.$
Vì $f(t)$ đồng biến trên $(0;1)$ nên
$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)$
$\ge3f\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)$
$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{1-\frac13}$
$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{\frac23}$
$=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$
$a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}.$
Dấu '=' xảy ra khi:
\Leftrightarrow x=\dfrac1{2\sqrt3},\quady=\dfrac1{3\sqrt3},\quadz=\dfrac1{4\sqrt3}.
$A_{\min}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$