post ít một thôi

Dề sai. Cho \(a=c=0,b=\sqrt{2}\) thì được

\(0+\frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{3}\approx1,162>1\)

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$\boxed{P_{\min}=3\sqrt3}$

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$P_{\min}=3\sqrt3$

\(a^2+1=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

tương tự \(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(b+c\right)=a^2b+b^2a+c^2a+a^2c+b^2c+c^2b+2abc\)

\(\Rightarrow\)VT=\(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c+3abc\) =\(ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+ca\left(a+b\right)+c\left(ab+bc+ca\right)\)=a+b+c

ta có (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)=3 nên a+b+c>=căn3(đccm)