Chọn C

Đáp án C

de ***** tu lam di

BC: 2x-3y-5=0

=>vecto pháp tuyến của BC là: \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;-3\right)\)

AB: x+y+1=0

=>vecto pháp tuyến của AB là: \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\)

Gọi vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(a;b\right)\)

\(\cos(AB, BC) = \frac{\vert{}\vec{n}_{AB} \cdot \vec{n}_{BC}\vert{}}{\vert{}\vec{n}_{AB}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_{BC}\vert{}} = \frac{\vert{}1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3)\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{\vert{}-1\vert{}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>cos(AB;BC)=cos(AC;CB)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(2(2a - 3b)^2 = a^2 + b^2\)

=>\(2(4a^2-12ab+9b^2)=a^2+b^2\)

=>\(8a^2-24ab+18b^2=a^2+b^2\)

=>\(7a^2-24ab+17b^2=0\)

=>(a-b)(7a-17b)=0

TH1: a-b=0

=>a=b

Chọn a=1

=>b=a=1

=>vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(1;1\right)\)

Phương trình AC là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

mà AB: x+y+1=0

nên AB//AC

=>Loại

TH2: 7a-17b=0

=>7a=17b

=>a=17; b=7

=>\(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(17;7\right)\)

Phương trình AC là:

17(x-1)+7(y-1)=0

=>17x-17+7y-7=0

=>17x+7y-24=0

Tọa độ B là:

x-2y+1=0và x-7y+14=0

=>x=7 và y=3

AB: x-2y+1=0

=>BC: 2x+y+c=0

Thay x=7 và y=3 vào BC, ta được:

c+2*7+3=0

=>c=-17

=>2x+y-17=0

A thuộc AB nên A(2a+1;a); C thuộc BC nen C(c;17-2c)(a<>3; c<>7)

Gọi I là giao của AC và BD

Tọa độ I là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2a+1+c}{2}\\y=\dfrac{a+17-2c}{2}\end{matrix}\right.\)

I thuộc BD nên 3c-a=18

=>a=3c-18

=>A(6c-35; 3c-18)

vecto MA=(6c-37; 3c-19)

vecto MC=(c-2;16-2c)

M,A,C thẳng hàng nên (6c-37)/(c-2)=(3c-19)/16-2c

=>c=7(loại) hoặc c=6(nhận)

=>A(1;0); C(6;5); B(7;3); D(0;2)

\(cosB=\dfrac{\left|1.2+\left(-7\right).1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-7\right)^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

Gọi vtpt của AC có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow cosC=cosB=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left|2a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(2a+b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+8ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(7a+b\right)=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-1\\b=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;-7\right)\end{matrix}\right.\)

(Trường hợp \(\left(a;b\right)=\left(1-;7\right)\) loại do khi đó AC song song AB, vô lý)

\(\Rightarrow\) Phương trình AC: \(1\left(x-4\right)-1\left(y-0\right)=0\)