Bạn chứng minh cái này : a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ \(⋮\)a + b    ; aⁿ - bⁿ \(⋮\)a - b 

Ta có : 2018²⁰¹⁹ + 2020²⁰¹⁹ = ( 2018²⁰¹⁹ + 1 ) + ( 2020²⁰¹⁹ - 1 ) 

2018²⁰¹⁹ + 1 \(⋮\)( 2018 + 1 ) = 2019 ;  2020²⁰¹⁹ - 1 \(⋮\)( 2010 - 1 ) = 2019

\(\Rightarrow\) 2018²⁰¹⁹ + 2020²⁰¹⁹ \(⋮\) 2019 

\(S=(C_{2020}^1)^2+(2C_{2020}^2)^2+(3C_{2020}^3)^2+\ldots+(2020C_{2020}^{2020})^2\)

Ta có đẳng thức tổ hợp sau:

\(k C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n C_{n-1}^{k-1}\)

=>\(S = \sum_{k=1}^{n} (k C_n^k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (n C_{n-1}^{k-1})^2 = n^2 \sum_{k=1}^{n} \left( C_{n-1}^{k-1} \right)^2\)

Đặt i=k-1

Khi k chạy từ 1 đến n

thì i chạy từ 0 đến n-1

=>\(S = n^2 \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

Đặt \(T = \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

\((1+x)^{n-1} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 x + C_{n-1}^2 x^2 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} x^{n-1}\)

\((x+1)^{n-1} = C_{n-1}^0 x^{n-1} + C_{n-1}^1 x^{n-2} + \ldots + C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó: \(\left(1+x\right)^{2n-2}=(C_{n-1}^0)^2+(C_{n-1}^1)^2+(C_{n-1}^2)^2+\ldots+(C_{n-1}^{n-1})^2=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2\)

\(=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2=C_{2n-2}^{n-1}\)

Do đó: \(S = n^2 C_{2n-2}^{n-1}\)

\(=2020^2C_{2(2020)-2}^{2020-1}=2020^2C_{4038}^{2019}\)

a

Ta có:\(2020\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2020^{2019}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2020^{2019}-1\equiv0\left(mod3\right)\)

Khi đó:\(\left(2020^{2019}+1\right)\cdot\left(2020^{2019}-1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

suy ra đpcm

b

\(n^5+96n=n\left(n^4+96\right)\)

Để \(n^5+96n\) là số nguyên tố thì:\(n^4+96=1\left(h\right)n=1\)

Do \(n^4+96>1\Rightarrow n=1\)

Thay vào ta thấy thỏa mãn

Vậy n=1

a, =2020^4038 -1

Vì  \(2020 \equiv 1 \pmod{3}\)

->\(2020^(4038) \equiv 1 \pmod{3}\)

->2020^4038 -1 chia hết cho 3 -> dpcm

a) \(\left(2020^{2019}+1\right)\left(2020^{2019}-1\right)=\left(2020^{2019}\right)^2-1=2020^{4038}-1\)

Ta có: 2020 = 1 mod 3

\(\Rightarrow2020^{2019}\equiv1mod3\)

\(\Rightarrow2020^{4038}-1\equiv0mod3\)

=> đpcm

Ta có bài toán tổng quát sau:Chứng minh rằng tổng \(A=\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+....+\frac{n+1}{n^2+n}\)(n số hạng và n>1) không phải là số nguyên dương ta có:

\(1=\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+...+\frac{n+1}{n^2+3}< \frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+....+\frac{n+1}{n^2+n}< \frac{n+1}{n^2}+\frac{n+1}{n^2}\)\(+....+\frac{n+1}{n^2}=2\)

Do đó A không phải là số nguyên dương với n=2019 thì ta có bài toán đã cho