a) Ta có: ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 = (3n - 1 - 2)(3n - 1 + 2) = 3(n - l)(3n + 1).

Do 3(n - 1)(3n + l) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên  ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n;

b) Ta có: 100 - ( 7 n   +   3 ) 2  =(7 - 7n)(13 – 7n) = 7(1 - n)(13 -7n) chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.

Ta có:

a)  ( 3 n   + 1 ) 2  - 25 = 3(3n - 4)(n + 2) chia hết cho 3;

b)  ( 4 n   + 1 ) 2  - 9 = 8(2n - 1)(n +1) chia hết cho 8.

`(n^2+3n+1)^2-1`

`=(n^2+3n+1)-1^2`

`=(n^2+3n+1+1)(n^2+3n+1-1)`

`=(n^2+3n+2)(n^2+3n)`

`=(n+1)(n+2)n(n+3)`

`=n(n+1)(n+2)(n+3)` là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp.

`=> n(n+1)(n+2)(n+3) vdots 24`

- nếu n là số lẻ ta có (n+1) là số chẵn và (3n+2) là số lẻ nên tích (n+1). (3n+2) là một số chẵn (a) chia hết cho 2

- nếu n là số chẵn ta có (n+1) là số lẻ và (3n+2) là số chẵn nên tích (n+1). (3n+2) là một số chẵn (b) chia hết cho 2

Từ (a) và (b) thì tích (n+1).(3n+2) chia hết cho 2 với mọi N là số tự nhiên

vì trong 1 tích chỉ cần 1 số nhiên chia hết thì cá tích chia hết 

vì có (3n + 2) nên cả tích đó chia hết cho 2

a) Nếu n = 5k => n(n+5) = 5k.(5k + 5) = 25k(k+1) chia hết cho 25

Nếu n = 5k +1 => n(n + 5) = (5k + 1).(5k+6) = 5k.5k + 5k.6 + 1.5k + 6 = (25k² + 35k) + 6 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 2 => n(n + 5) = (5k + 2)(5k + 7) = (25k² + 35k + 10k) + 14 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 3 => n(n + 5) = (5k + 3)(5k + 8) = (25k² + 55k) + 24 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 4 => n(n + 5) = (5k + 4).(5k + 9) = (25k² + 45k + 20k) + 36 không chia hết cho 5

Vậy với mọi n thì n(n+5) hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5

b,c tương tự:

a) Chứng minh $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét hiệu của hai thừa số trong tích:

$(n + 5) - n = 5$

Giả sử $n(n + 5) \vdots 5$. Vì $5$ là số nguyên tố nên có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: $n \vdots 5$.

Vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow (n + 5) \vdots 5$.

Do cả hai thừa số $n$ và $(n + 5)$ đều chia hết cho $5$, suy ra tích $n(n + 5) \vdots (5 \cdot 5) \Rightarrow n(n + 5) \vdots 25$.

Trường hợp 2: $(n + 5) \vdots 5$.

Tương tự, vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow n \vdots 5$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $5$, suy ra $n(n + 5) \vdots 25$.

Nếu $n(n + 5)$ chia hết cho $5$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $25$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho $25$ hoặc không chia hết cho $5$. (ĐPCM)

Trí zẹp zai

Bùi Thị Thu Hiền làm con mẹ gì vậy?

Mọi người ơi trả lời hộ mình câu 3 nhé. cám ơn nhiều