\(\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\sqrt{\dfrac{a^2\left(a+1\right)^2+a^2+\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\)

\(=\sqrt{\dfrac{a^2\left(a+1\right)^2+2a\left(a+1\right)+1}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+1\right)+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a\left(a+1\right)+1}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}\)

\(=\dfrac{a^2+2a+1}{a+1}=\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1\)

\(\Rightarrow VP=6831\)

Không làm mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

Dễ dàng kiểm chứng \(x=y=z\) không phải là nghiệm

\(3^x+3^y+3^z=6831\Leftrightarrow3^x\left(1+3^{y-x}+3^{z-x}\right)=3^3.253\)

Nếu \(1+3^{y-x}+3^{z-x}\ne253\Rightarrow1+3^{y-x}+3^{z-x}=253.3^k⋮3\)

Nhưng \(1+3^{y-x}+3^{z-x}⋮̸3\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne y\\x\ne z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) vô lý

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}3^x=3^3\\1+3^{y-x}+3^{z-x}=253\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\3^{y-3}+3^{z-3}=252\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3^{y-3}\left(1+3^{z-y}\right)=252=3^2.28\)

Do \(3^{z-y}+1⋮̸3\) lý luậnt ương tự như trên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^{y-3}=3^2\\1+3^{z-y}=28\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-3=2\\3^{z-y}=27=3^3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\z=8\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=5\\z=8\end{matrix}\right.\)

Ta cần chứng minh biểu thức:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

chia hết cho:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với \(x , y , z\) đôi một khác nhau, và \(n \in \mathbb{Z} , n > 1\).

Bước 1: Phân tích mẫu số B

Ta xét:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

Sử dụng hằng đẳng thức:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \text{khi}\&\text{nbsp}; a + b + c = 0\)

Đặt:

• \(a = x - y\)
• \(b = y - z\)
• \(c = z - x\)

Khi đó:

\(a + b + c = \left(\right. x - y \left.\right) + \left(\right. y - z \left.\right) + \left(\right. z - x \left.\right) = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

⇒ Kết luận:

\(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 2: Phân tích tử số A

Xét:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Rút 3 ra ngoài:

\(A = 3 \left[\right. x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\)

Gọi:

\(A^{'} = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Mục tiêu: Chứng minh \(A^{'}\) chia hết cho \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 3: Ý tưởng dùng đối xứng và định lý đa thức

Đặt \(f \left(\right. x , y , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Tính đối xứng:

• Nếu hoán vị các biến, biểu thức \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) chỉ đổi dấu, không thay giá trị tuyệt đối. Nên \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) là một đa thức phản đối xứng.

Ta sẽ chứng minh:

\(\left(\right. x - y \left.\right) , \left(\right. y - z \left.\right) , \left(\right. z - x \left.\right) \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Nếu \(x = y \Rightarrow f \left(\right. x , x , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x \left.\right) + x^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. x - x \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x + x - z \left.\right) + 0 = 0\)

⇒ \(x - y \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Tương tự:

• \(y = z \Rightarrow f \left(\right. x , y , y \left.\right) = 0 \Rightarrow y - z \mid f\)
• \(z = x \Rightarrow f \left(\right. x , y , x \left.\right) = 0 \Rightarrow z - x \mid f\)

⇒ Vậy: \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A^{'}\)

⇒ \(3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A\)

Mà \(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

✅ Kết luận:

\(A \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; B\)

hay:

\(3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với mọi số nguyên \(n > 1\), và \(x , y , z\) đôi một khác nhau.

Nếu bạn cần chứng minh bằng phương pháp khác (ví dụ: dùng định lý đồng dư, đa thức hoặc kiểm tra cụ thể), mình có thể hỗ trợ tiếp.

Bài này à

Gọi thương của phép chia là a thì ta có:

\(x^3+y^3+z^3=a\left(xyz\right)^2\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(x\ge y\ge z\)

Dễ thấy \(y^3+z^3⋮x^2\)

\(\Rightarrow y^3+z^3\ge x^2\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(3x^3\ge x^3+y^3+z^3=a\left(xyz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x\ge a\left(yz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9x^2\ge a^2y^4z^4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(18y^3\ge9\left(y^3+z^3\right)\ge a^2y^4z^4\)

\(\Leftrightarrow z^5\le a^2yz^4\le18\)

\(\Leftrightarrow0< z\le1\)

\(\Leftrightarrow z=1\)

\(\Rightarrow a^2\le a^2y\le18\)

\(\Leftrightarrow1\le a\le4\)

Tự nhiên làm biếng quá thôi còn lại tự làm nốt nha bé.