cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh tam giác . Chứng minh (a + b + c)^2 < 4(ab+ bc + ca)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AT
5
ML
13 tháng 5 2016
ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca
<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0
<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0
<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)
dấu = xảy ra khi a =b=c
23 tháng 5 2016
a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2
b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2
a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2
Cộng các vế ta có
2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2
NT
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
12 tháng 1
a\(^2\) - 2ab + b\(^2\)
= a\(^2\) - ab - ab + b\(^2\)
= (a\(^2\) - ab) - (ab - b\(^2\))
= a(a -b) - b(a - b)
= (a -b)(a -b)
= (a - b)\(^2\) ≥ 0 ∀ a; b
Suy ra: a\(^2\) - 2ab + b\(^2\) ≥ 0
a\(^2+b^2\) ≥ 2ab
CMTT ta có: b\(^2\) + c\(^2\) ≥ 2bc
\(a^2+c^2\) ≥ 2ac
Cộng vế với vế ta có: 2a\(^2\) + 2b\(^2\) + 2c\(^2\) ≥ 2ab + 2bc + 2ac
Suy ra: a\(^2+b^2+c^2\) ≥ ab + bc + ac (1)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac
b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc
c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc
Cộng vế với vế ta có:
a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (2)
kết hợp (1) và (2) ta có:
ab + bc + ac ≤ a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (đpcm)
18 tháng 4 2016
Ta có (a+b)2 >=0 => a2 + 2ab + b2 >= 0 => a2 + b2 >= 2ab. (1)
(b+c)2 >=0 => b2 + 2bc + c2 >= 0 => b2 + c2 >= 2bc. (2)
(c+a)2 >=0 => c2 + 2ca + a2 >= 0 => c2 + a2 >= 2ca. (3)
Cộng (1), (2), (3), theo vế ta có 2(a2 + b2 + c2)>=2(ab+bc+ca)
suy ra a2 + b2 + c2>=ab+bc+ca (*)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a+b>c => ac+bc>c2. (4)
b+c>a => ab+ac>a2. (5)
c+a>b => bc+ab>b2. (6)
Cộng (4), (5), (6) theo vế ta có 2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2(**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm.
a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< bc+ab\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)(đpcm)