\(S=(C_{2020}^1)^2+(2C_{2020}^2)^2+(3C_{2020}^3)^2+\ldots+(2020C_{2020}^{2020})^2\)

Ta có đẳng thức tổ hợp sau:

\(k C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n C_{n-1}^{k-1}\)

=>\(S = \sum_{k=1}^{n} (k C_n^k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (n C_{n-1}^{k-1})^2 = n^2 \sum_{k=1}^{n} \left( C_{n-1}^{k-1} \right)^2\)

Đặt i=k-1

Khi k chạy từ 1 đến n

thì i chạy từ 0 đến n-1

=>\(S = n^2 \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

Đặt \(T = \sum_{i=0}^{n-1} \left( C_{n-1}^i \right)^2\)

\((1+x)^{n-1} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 x + C_{n-1}^2 x^2 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} x^{n-1}\)

\((x+1)^{n-1} = C_{n-1}^0 x^{n-1} + C_{n-1}^1 x^{n-2} + \ldots + C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó: \(\left(1+x\right)^{2n-2}=(C_{n-1}^0)^2+(C_{n-1}^1)^2+(C_{n-1}^2)^2+\ldots+(C_{n-1}^{n-1})^2=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2\)

\(=\sum_{i=0}^{n-1}\left(C_{n-1}^{i}\right)^2=C_{2n-2}^{n-1}\)

Do đó: \(S = n^2 C_{2n-2}^{n-1}\)

\(=2020^2C_{2(2020)-2}^{2020-1}=2020^2C_{4038}^{2019}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

$A=|x-2019|+|x-2020|=|x-2019|+|2020-x|\geq |x-2019+2020-x|=1$

Vậy $A_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $(x-2019)(2020-x)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2019\leq x\leq 2020$

F = | 2x - 2 | + | 2x - 2003 |

F = | 2x - 2 | + | -( 2x - 2003 ) |

F = | 2x - 2 | + | 2003 - 2x |

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

F = | 2x - 2 | + | 2003 - 2x | ≥ | 2x - 2 + 2003 - 2x | = | 2001 | = 2001

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0

=> ( 2x - 2 )( 2003 - 2x ) ≥ 0

Xét hai trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}2x-2\ge0\\2003-2x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge2\\-2x\ge-2003\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\le\frac{2003}{2}\end{cases}\Rightarrow}1\le x\le\frac{2003}{2}\)

2/ \(\hept{\begin{cases}2x-2\le0\\2003-2x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\le2\\-2x\le-2003\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le1\\x\ge\frac{2003}{2}\end{cases}}\)( loại )

Vậy MinF = 2001 <=> \(1\le x\le\frac{2003}{2}\)

G = | 2x - 3 | + 1/2| 4x - 1 |

G = | 2x - 3 | + | 2x - 1/2 |

G = | -( 2x - 3 ) | + | 2x - 1/2 |

G = | 3 - 2x | + | 2x - 1/2 |

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

G = | 3 - 2x | + | 2x - 1/2 | ≥ | 3 - 2x + 2x - 1/2 | = | 5/2 | = 5/2

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0 

=> ( 3 - 2x )( 2x - 1/2 ) ≥ 0

Xét 2 trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}3-2x\ge0\\2x-\frac{1}{2}\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2x\ge-3\\2x\ge\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{2}\\x\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{4}\le x\le\frac{3}{2}\)

2/ \(\hept{\begin{cases}3-2x\le0\\2x-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2x\le-3\\2x\le\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le\frac{1}{4}\end{cases}}\)( loại )

=> MinG = 5/2 <=> \(\frac{1}{4}\le x\le\frac{3}{2}\)

H = | x - 2018 | + | x - 2019 | + | x - 2020 | 

H = | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | x - 2020 | ]

H = | x - 2019 | + [ x - 2018 | + | -( x - 2020 ) | ]

H = | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | 2020 - x | ]

Ta có : | x - 2019 | ≥ 0 ∀ x

| x - 2018 | + | 2020 - x | ≥ | x - 2018 + 2020 - x | = | 2 | = 2 ( BĐT | a | + | b | ≥ | a + b | )

=> | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | 2020 - x | ] ≥ 2

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left|x-2019\right|=0\\\left(x-2018\right)\left(2020-x\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2019\\2018\le x\le2020\end{cases}}\)

=> x = 2019

=> MinH = 2 <=> x = 2019

Bạn xem lại. Biểu thức C có GTLN chứ không có GTNN bạn nhé.

$H=|x-2018|+|x-2019|+|x-2020|$

$=|x-2018|+|x-2020|+|x-2019|=|x-2018|+|2020-x|+|x-2019|$

Ta có:

$|x-2018|+|2020-x|\geq |x-2018+2020-x|=2$

$|x-2019|\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow H\geq 2$

Vậy $H_{\min}=2$. Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-2018)(2020-x)\geq 0\\ x-2019=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2019\)

Lời giải:

Bạn áp dụng BĐT sau:

$|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$

Ta có:

\(F=|2x-2|+|2x-2003|=|2x-2|+|2003-2x|\geq |2x-2+2003-2x|=2001\)

Vậy $F_{\min}=2001$. Dấu "=" xảy ra khi $(2x-2)(2003-2x)\geq 0$

$\Leftrightarrow 1\leq x\leq \frac{2003}{2}$

---------------

\(G=|2x-3|+\frac{1}{2}|4x-1|=|2x-3|+|2x-\frac{1}{2}|=|3-2x|+|2x-\frac{1}{2}|\geq |3-2x+2x-\frac{1}{2}|\)

\(=\frac{5}{2}\)

Vậy $G_{\min}=\frac{5}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $(3-2x)(2x-\frac{1}{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq x\leq \frac{3}{2}$

ủa bạn j ơi chữ x chành bành ra trên đề kìa mà bạn bảo tìm làm j nữa

Tham khảo tại: Câu hỏi của Lương Đức Hưng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến