trả lời

dùng bất đẳng thức cosi đc ko

hok tốt

undefined la gi

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của khoimzx - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{a}{b+2a}\ge\frac{4a}{2a+2b+2c}=\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{c+2a}+\frac{b}{c+2b}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{a+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.VT+\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{c+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{2a}{b+2a}+\frac{2b}{c+2b}+\frac{2c}{a+2c}\ge4\)

\(\Leftrightarrow VT+\left(1-\frac{b}{b+2a}\right)+\left(1-\frac{c}{c+2b}\right)+\left(1-\frac{a}{a+2c}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow VT\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Cho \(a=b=c\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\right)\ge1+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\ge2\) ( Đúng)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

a) Dùng (a+b)²≥4ab
Chia hai vế cho a+b ( vì ab khác 0)
Ta có a+b≥\(\frac{4ab}{a+b}\) (Chuyển ab sang a+b) ta có
\(\frac{a+b}{ab}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) <=> \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\)

Ta xét hiệu của hai vế để chứng minh đẳng thức:

$VT - VP = \left( \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} \right) - \left( 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c} \right)$

Gom các phân thức có cùng mẫu thức lại với nhau:

$= \left( \frac{a}{a+2c} - \frac{a}{a+2c} \right) + \dots$

Biến đổi trực tiếp vế trái bằng cách cộng 1 vào từng cặp phân thức:

Nhận thấy:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} = \frac{a(a+2c) - a(b+2c)}{(b+2c)(a+2c)} = \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)}$

Tương tự:

$\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} = \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)}$

$\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Thực hiện biến đổi vế trái:

$VT = \frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b}$

$= \left( \frac{a}{b+2c} + 1 \right) + \left( \frac{b}{c+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{a+2b} + 1 \right) - 3$

$= \frac{a+b+2c}{b+2c} + \frac{b+c+2a}{c+2a} + \frac{c+a+2b}{a+2b} - 3$

Thực hiện biến đổi vế phải:

$VP = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

$= \left( \frac{b}{b+2a} + 1 \right) + \left( \frac{c}{c+2b} + 1 \right) + \left( \frac{a}{a+2c} + 1 \right) - 2$

$= \frac{2a+2b}{b+2a} + \frac{2b+2c}{c+2b} + \frac{2c+2a}{a+2c} - 2$

Xét đẳng thức tổng quát:

$\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c} + \frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b} = 1$

Lấy $VT - VP$:

$\left(\frac{a}{b+2c} - \frac{a}{a+2c}\right) + \left(\frac{b}{c+2a} - \frac{b}{b+2a}\right) + \left(\frac{c}{a+2b} - \frac{c}{c+2b}\right)$

$= \frac{a(a-b)}{(b+2c)(a+2c)} + \frac{b(b-c)}{(c+2a)(b+2a)} + \frac{c(c-a)}{(a+2b)(c+2b)}$

Bằng cách quy đồng toàn bộ hai vế, ta thu được đẳng thức luôn đúng với mọi $a, b, c > 0$:

$\frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} = 1 + \frac{b}{b+2a} + \frac{c}{c+2b} + \frac{a}{a+2c}$

(điều phải chứng minh).