Đặt \(\frac{x^2 - yz}{a} = \frac{y^2 - zx}{b} = \frac{z^2 - xy}{c} = k\) (k<>0)

=>\(a=\frac{x^2 - yz}{k},\quad b=\frac{y^2 - zx}{k},\quad c=\frac{z^2-xy}{k}\)

\(a^2-bc=0\)

=>\(\left(\frac{x^2 - yz}{k}\right)^2 = \left(\frac{y^2 - zx}{k}\right) \cdot \left(\frac{z^2 - xy}{k}\right)\)

=>\((x^2 - yz)^2 = (y^2 - zx)(z^2 - xy)\)

=>\(x^4 - 2x^2yz + y^2z^2 = y^2z^2 - xy^3 - xz^3 + x^2yz\)

=>\(x^4 - 2x^2yz = -xy^3 - xz^3 + x^2yz\)

=>\(x^4 - 3x^2yz + xy^3 + xz^3 = 0\)

=>\(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0\)

=>\((x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0\)

mà x+y+z=2010

nên \(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)

=>\(2x^2+2y^2+2z^2-2xz-2yz-2xy=0\)

=>\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

=>x=y=z

mà x+y+z=2010

nên x=y=z=2010/3=670

Ta có \(\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2}{a^2}=\dfrac{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}{bc}\) mà a² = bc nên:

\(\left(x^2-yz\right)^2=\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)\).

\(\Leftrightarrow x^4+y^2z^2-2x^2yz=y^2z^2+x^2yz-xy^3-xz^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+xy^3+xz^3-3x^2yz=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^3+y^3+z^3=3xyz\end{matrix}\right.\).

Rõ ràng nếu \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) thì \(x=y=z\) (tính chất quen thuộc). Do đó \(\dfrac{x^2-yz}{a}=0\) (vô lí).

Do đó x = 0.

Kết hợp với x + y + z = 2010 thì y + z = 2010.

Rõ ràng với mọi x, y, z thỏa mãn y + z = 2010 và x = 0 thì ta thấy thỏa mãn đk bài toán.

Vậy...

Đặt \(\frac{x^2 - yz}{a} = \frac{y^2 - zx}{b} = \frac{z^2 - xy}{c} = k\) (k<>0)

=>\(a=\frac{x^2 - yz}{k},\quad b=\frac{y^2 - zx}{k},\quad c=\frac{z^2-xy}{k}\)

\(a^2 = \frac{(x^2 - yz)^2}{k^2} = \frac{x^4 - 2x^2yz + y^2z^2}{k^2}\)

\(bc = \left(\frac{y^2 - zx}{k}\right) \left(\frac{z^2 - xy}{k}\right) = \frac{y^2z^2 - xy^3 - xz^3 + x^2yz}{k^2}\)

\(a^2 - bc = \frac{(x^4 - 2x^2yz + y^2z^2) - (y^2z^2 - xy^3 - xz^3 + x^2yz)}{k^2}\)

\(=\frac{x^4 - 3x^2yz + xy^3 + xz^3}{k^2}\)

\(=\frac{x(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)}{k^2}\)

=>\(\frac{a^2 - bc}{x} = \frac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{k^2} \quad (1)\)

\(b^2 = \frac{(y^2 - zx)^2}{k^2} = \frac{y^4 - 2xy^2z + x^2z^2}{k^2}\)

\(ca = \left(\frac{z^2 - xy}{k}\right) \left(\frac{x^2 - yz}{k}\right) = \frac{x^2z^2 - yz^3 - x^3y + xy^2z}{k^2}\)

=>\(b^2 - ca = \frac{(y^4 - 2xy^2z + x^2z^2) - (x^2z^2 - yz^3 - x^3y + xy^2z)}{k^2}\)

\(=\frac{y^4 - 3xy^2z + yz^3 + x^3y}{k^2}\)

\(=\frac{y(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)}{k^2}\)

=>\(\frac{b^2 - ca}{y} = \frac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{k^2} \quad (2)\)

\(c^2 = \frac{(z^2 - xy)^2}{k^2} = \frac{z^4 - 2xyz^2 + x^2y^2}{k^2}\)

\(ab = \left(\frac{x^2 - yz}{k}\right) \left(\frac{y^2 - zx}{k}\right) = \frac{x^2y^2 - x^3z - y^3z + xyz^2}{k^2}\)

=>\(c^2 - ab = \frac{(z^4 - 2xyz^2 + x^2y^2) - (x^2y^2 - x^3z - y^3z + xyz^2)}{k^2}\)

\(=\frac{z^4 - 3xyz^2 + x^3z + y^3z}{k^2}\)

\(=\frac{z(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)}{k^2}\)

=>\(\frac{c^2 - ab}{z} = \frac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{k^2} \quad (3)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{a^2 - bc}{x} = \frac{b^2 - ca}{y} = \frac{c^2 - ab}{z} = \frac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{k^2}\)

1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)  \(\left(a;b;c\in R\right)\)

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)

Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)

\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)  

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)

- Với \(x>1;y>1\)

\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương

\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)

Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

bài này là bđt bunhia copxi khi xảy ra dấu =
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
c/m nhân tung ra thôi bạn
 !@@@

ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1) 

=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)

a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] => 
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2) 
Thực hiện tương tự ta cũng có 
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3) 
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4) 
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.