d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)

\(\text{Δ}=\left(-8\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\cdot\left(m-1\right)\)

\(=64+12\left(m-1\right)\)

=64+12m-12

=12m+52

a: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 7 thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8< 14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-\dfrac{13}{4}\)

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 7 thì \(\left\{{}\begin{matrix}12m+52>0\\8>14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\vert{}x^2 - 3x - 3 + m\vert{} = x + 1\) (*)

=>\(\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 3x - 3 + m = x + 1 \\ &x^2 - 3x - 3 + m = -(x + 1) \end{aligned} \right. \end{cases}\)

\(\iff\begin{cases}x\ge-1\\ \left[\begin{aligned} & m=-x^2+4x+4\quad(1)\\ & m=-x^2+2x+2\quad(2)\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì tổng số nghiệm x>=-1 của (1) và (2) phải đúng bằng 3

(1): \(m = -x^2 + 4x + 4\)

Xét hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x + 4\) với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac42=2\\ y=-2^2+4\cdot2+4=-4+4+8=8\end{cases}\)

\(f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1\)

(2): \(m=-x^2+2x+2\)

Xét hàm số \(g(x) = -x^2 + 2x + 2\) , với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1\\ y=-1^2+2\cdot1+2=-1+2+2=3\end{cases}\)

\(g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1\)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y=m với (P1): y=-x^2+4x+4 và (P2): y=-x^2+2x+2

TH1: m>8

Theo hình vẽ, ta thấy khi m>8 thì đường thẳng y=m nằm hoàn toàn phía trên cả hai đỉnh parabol (đỉnh cao nhất là 8).

=>(*) vô nghiệm

=>Loại

TH2: m=8

Khi đó, đường thẳng y=m=8 chỉ cắt đúng đỉnh của (P1) và nằm hoàn toàn phía trên của (P2)

=>(*) có duy nhất 1 nghiệm

=>Loại

TH3: 3<m<8

Khi đó, đường thẳng y=m nằm dưới đỉnh của (P1) và nằm phía trên của (P2)

=>(*) có 2 nghiệm

=>Loại

TH4: m=3

Đường thẳng y=m=3 đi qua đỉnh của (P2) và cắt ngang qua (P1), tức sẽ có 2+1=3 nghiệm

=>Nhận

TH5: -1<m<3

=>Đường thẳng y = m cắt ngang qua cả hai parabol ở vùng phía trên điểm biên -1

=>(*) có 2+2=4 nghiệm

=>Loại

TH6: m=-1

=>Đường thẳng y=-1 đi qua đúng điểm biên bắt đầu của cả hai đồ thị (điểm chung duy nhất là điểm A(-1;-1)

(1) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+4x+4=-1\)

=>\(-x^2+4x+5=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>x=5 hoặc x=-1

(2) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+2x+2=-1\)

=>\(-x^2+2x+3=0\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

Do đó: (*) có 3 nghiệm phân biệt x∈{5;-1;3}

=>Nhận

TH7: m<-1

=>Đường thẳng y=m sẽ nằm hoàn toàn ở phía dưới điểm biên A(-1;-1)

Khi đó, y=m chỉ có thể cắt (P1) và (P2) tại tối đa 2 điểm ở hai đồ thị

=>(*) chỉ có thể có tối đa 2 nghiệm

=>Loại

a, Thay m vào pt ta được :

(3+1).x²-2(3+1).x+3-3=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-8x=0

\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m=3 phương trình có 2 nghiệm là 0 và 2

b, Theo Vi et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\left(vớim\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\)  (1)

Ta có : (4x₁+1)(4x₂+1)=18

\(\Leftrightarrow16x_1.x_2+4x_1+4x_2+1=18\)

\(\Leftrightarrow16.x_1.x_2+4\left(x_1+x_2\right)=17\)  (2)

Thay (1) vào (2) ta được : 

         16.\(\dfrac{m-3}{m+1}+4.2=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16m-48}{m+1}=9\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)=16m-48\)

\(\Leftrightarrow9m+9=16m-48\)

\(\Leftrightarrow7m=57\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{57}{7}\) (thỏa mãn m\(\ne-1\))

Vậy ..

b) phương trình có 2 nghiệm  \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le1\)

Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)