Kẻ OE⊥CD tại E

Gọi M là giao điểm của CO và BD

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBN vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BON}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBN

=>OC=ON và AC=BN

AC+BD=CD

=>BN+BD=CD

=>CD=DN

=>ΔDCN cân tại D

Xét ΔDOC và ΔDON có

DO chung

OC=ON

DC=DN

Do đó: ΔDOC=ΔDON

=>\(\hat{ODC}=\hat{ODN}\)

Xét ΔDEO vuông tại E và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{EDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDEO=ΔDBO

=>OE=OB

=>OE=R

=>E nằm trên (O;R)

Xét (O;R) có

OE là bán kính

CD⊥OE tại E

Do đó: CD là tiếp tuyến tại E của (O)

ΔOBM cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH\(\perp\)AB và OH là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB

AM\(\perp\)MB

OH\(\perp\)MB

Do đó: AM//OH

AM//OH

NI\(\perp\)AM tại N

Do đó: NI\(\perp\)OH 

mà H\(\in\)OI

nên NI\(\perp\)OI tại I

Xét (O) có

OI là bán kính

NI\(\perp\)OI tại I

Do đó: NI là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔOBD và ΔOMD có

OB=OM

\(\widehat{BOD}=\widehat{MOD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOMD

=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OMD}=90^0\)

=>DM là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh NI và DM là các tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh rằng góc NIO và góc DMO bằng 90 độ.

Ta có:

- Vì H là trung điểm của BM, nên OH song song với AB và cắt AB ở trung điểm H. Do đó, OH là đường cao của tam giác OAB.

- Vì OH là đường cao của tam giác OAB, nên góc OHA bằng 90 độ.

- Vì I là điểm trên đường tròn (O) và OH cắt (O) tại I, nên góc OIA bằng 90 độ.

- Vì góc OHA và góc OIA bằng 90 độ, nên các điểm O, H, I, A cùng thuộc một đường tròn đường kính OA.

Do đó, ta có:

- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

Từ đó, ta có:

- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.

Vậy, ta có góc NIA bằng góc NIA, tức là góc NIA bằng góc NIA.

Tương tự, ta có thể chứng minh góc DMO bằng 90 độ.

Do đó, ta kết luận rằng NI và DM là các tiếp tuyến của (O).

Xét (O) có

AH,AE là tiếp tuyến

=>OA là phân giác của góc HOE(1)

Xét (O) có

BH,BF là tiếp tuyến

=>OB là phân giác của góc HOF(2)

Từ (1), (2) suy ra góc EOF=2*90=180 độ

=>E,O,F thẳng hàng

góc OAE=góc OAH=90 độ-góc HOA=(180 độ-góc HOE)/2

=góc HOF/2

=góc BOH

Xét (O) có

AH,AE là tiếp tuyến

=>OA là phân giác của góc HOE(1)

Xét (O) có

BH,BF là tiếp tuyến

=>OB là phân giác của góc HOF(2)

Từ (1), (2) suy ra góc EOF=2*90=180 độ

=>E,O,F thẳng hàng

góc OAE=góc OAH=90 độ-góc HOA=(180 độ-góc HOE)/2

=góc HOF/2

=góc BOH

a: góc OAD+góc OBD=180 độ

=>OADB nội tiếp

b: Xét (O) có

DA,DB là tiếp tuyến

=>DA=DB

mà OA=OB

nên OD là trung trực của AB

=>OD vuông góc AB tại I

Xét ΔOIC vuông tại I và ΔOHD vuông tại H có

góc HOD chung

=>ΔOIC đồng dạng với ΔOHD

=>OI/OH=OC/OD

=>OI*OD=OH*OC

AB là dây cung*