Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bạn xem hình.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

\(BC=BH+HC=9+16=25\\ AB^2=BH.BC\\ =>AB=\sqrt{9.25}=15\\ AC^2=HC.BC\\ =>AC=\sqrt{16.25}=20\\ AH^2=BH.HC\\ =>AH=\sqrt{9.16}=12\)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) \(AH^2=BH.CH\)=> \(AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{2,25.4}=3\)

\(BC=6.25\)

\(AB^2=BH.BC\)=> \(AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{2,25.6,25}=3.75\)

\(AC^2=CH.BC\)=> \(AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{4.6,25}=5\)

b) \(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{6,25}=0,8\)=> \(\widehat{B}\approx53'8''\)

\(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{3,75}{6,25}=0,6\)=> \(\widehat{C}\approx36'52''\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{C}+\hat{B}=90^0\)

=>\(\hat{C}+\frac12\cdot\hat{C}=90^0\)

=>\(\frac32\cdot\hat{C}=90^0\)

=>\(\hat{C}=90^0:\frac32=60^0\)

\(\hat{B}=\frac12\cdot\hat{C}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

b: Xét ΔCHA vuông tại H có \(cosC=\frac{CH}{CA}\)

=>\(\frac{1.6}{CA}=cos60=\frac12\)

=>\(CA=1,6\cdot2=3,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔCAB vuông tại A có \(cosC=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{3.2}{CB}=cos60=\frac12\)

=>\(CB=3,2\cdot2=6,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=6,4^2-3,2^2=\left(6,4-3,2\right)\left(6,4+3,2\right)=3,2\cdot9,6=30.72\)

=>\(AB=\sqrt{30,72}=\sqrt{\frac{768}{25}}=\sqrt{2^8\cdot\frac{3}{5^2}}=2^4\cdot\frac{\sqrt3}{5}=3,2\sqrt3\) (cm)

a: BC=BH+CH

=3,6+6,4=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(AB^2=3,6\cdot10=36=6^2\)

=>AB=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: ΔHEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên ME=MH

=>ΔMEH cân tại M

=>\(\hat{MEH}=\hat{MHE}\)

mà \(\hat{MHE}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{MEH}=\hat{ACB}\)

Ta có: ΔHFC vuông tại F

mà FN là đường trung tuyến

nên NF=NH

=>ΔNFH cân tại N

=>\(\hat{NFH}=\hat{NHF}\)

mà \(\hat{NHF}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị)

nên \(\hat{NFH}=\hat{CBA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{BAH}\) và \(\hat{FEH}=\hat{FAH}=\hat{HAC}\)

\(\hat{NFE}=\hat{NFH}+\hat{EFH}\)

\(=\hat{HBA}+\hat{HAB}=90^0\)

=>NF⊥FE tại F

\(\hat{MEF}=\hat{MEH}+\hat{FEH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>ME⊥ EF tại E

mà NF⊥FE tại F

nên MEFN là hình thang vuông

Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)