1: Đặt S=x+y; P=xy

\(3\left(x^2-xy+y^2\right)=7\left(x+y\right)\)

=>\(3(S^2-3P)=7S\)

=>\(9P=3S^2-7S\)

=>\(P = \frac{3S^2 - 7S}{9}\)

x,y là các số nguyên

=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=>\(S^2\ge4P\)

=>\(S^2-4P\ge0\)

=>\(S^2-4\cdot\frac{3S^2 - 7S}{9}\ge0\)

=>\(9S^2-12S^2+28S\ge0\)

=>\(-3S^2+28S\ge0\)

=>0<=S<=28/3

S∈Z; 9P=S(3S-7)

=>S⋮9

=>S=0 hoặc S=9

TH1: S=0

\(P=\frac{3\cdot0^2-7\cdot0}{9}=0\)

Do đó, ta có: x+y=0 và xy=0

=>x=y=0

TH2: S=9

=>\(P=\frac{3\cdot9^2-7\cdot9}{9}=\frac{3\cdot81-63}{9}=\frac{9\cdot\left(3\cdot9-7\right)}{9}=20\)

Do đó: x+y=9 và xy=20

=>(x;y)∈{(4;5);(5;4)}

\(pt< =>\left(x-y\right)^2+xy=\left(x-y\right)\left(xy+2\right)+9\)

\(< =>\left(y-x\right)\left(xy+2+y-x\right)+xy+2+y-x-\left(y-x\right)=11\)

\(< =>\left(y-x+1\right)\left(xy+2+y-x\right)-\left(y-x+1\right)=10\)

\(< =>\left(x-y+1\right)\left(x-y-1-xy\right)=10\)

đến đây giải hơi bị khổ =))

Xét \(x,y,z\ne0\)ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}< \left(x+y+z\right)^2\)(loại)

Xét trong 3 số có 2 số khác 0. Giả sử là \(x,y\ne0\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}< \left(x+y\right)^2\)(loại)

Vậy trong 3 số x, y, z phải có ít nhất 2 số bằng 0. Thế vô ta được phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Ý làm lộn. Đừng coi cái trên nha:

Dễ thấy với 2 trong 3 số bằng 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Giả sử 2 số đó là; x = y = 0 thì ta có:

\(z^2=z^2\) vô số nghiệm nguyên.

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài 4:

\(x^4y-x^4+2x^3-2x^2+2x-y=1\)

\(\Leftrightarrow y(x^4-1)-(x^4-2x^3+2x^2-2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow y(x^2+1)(x^2-1)-[x^2(x^2-2x+1)+(x^2-2x+1)]=0\)

\(\Leftrightarrow y(x^2+1)(x-1)(x+1)-(x-1)^2(x^2+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)[y(x+1)-(x-1)]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-1=0(1)\\ y(x+1)-(x-1)=0(2)\end{matrix}\right.\)

Với $(1)$ ta thu được $x=1$, và mọi $ý$ nguyên.

Với $(2)$

\(y(x+1)=x-1\Rightarrow y=\frac{x-1}{x+1}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow x-1\vdots x+1\)

\(\Rightarrow x+1-2\vdots x+1\Rightarrow 2\vdots x+1\)

\(\Rightarrow x+1\in\left\{\pm 1; \pm 2\right\}\Rightarrow x\in\left\{-2; 0; -3; 1\right\}\)

\(\Rightarrow y\left\{3;-1; 2; 0\right\}\)

Vậy \((x,y)=(-2,3); (0; -1); (-3; 2); (1; t)\) với $t$ nào đó nguyên.

Bài 1:

\(x^2+y^2-8x+3y=-18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-8x+3y+18=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-8x+16)+(y^2+3y+\frac{9}{4})=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow (x-4)^2+(y+\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow (x-4)^2=\frac{1}{4}-(y+\frac{3}{2})^2\leq \frac{1}{4}<1\)

\(\Rightarrow -1< x-4< 1\Rightarrow 3< x< 5\)

Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=4\)

Thay vào pt ban đầu ta thu được \(y=-1\) or \(y=-2\)

Vậy.......