Ta có: 

\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)

Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)

Cộng vế:

\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

Lại có:

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)

Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)

\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)

\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng

3<=a,b<=5

=>a+b-2>=3+3-2=4>0

\(ab + 1 > (a + b - 2)^2\)

=>\(ab+1>a^2+b^2+2ab-4a-4b+4\)

=>\(4a+4b-ab-a^2-b^2-3>0\)

\(4a+4b-ab-a^2-b^2-3\)

\(=(5-a)(a-1)+(5-b)(b-1)+(a-3)(b-3)+2\)

Ta có: 3<=a,b<=5

=>5-a>=0 và a-1>=2>0

=>(5-a)(a-1)>=0

3<=a,b<=5

=>5-b>=0 và b-1>=2>0

=>(5-b)(b-1)>=0

3<=a,b<=5

=>a-3>=0 và b-3>=0

=>(a-3)(b-3)>=0

2>0

Do đó: \((5 - a)(a - 1) + (5 - b)(b - 1) + (a - 3)(b - 3) + 2 \ge 2 > 0\)

=>\(ab+1>(a+b-2)^2\)

=>\(\sqrt{ab+1}>a+b-2\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\begin{cases} \sqrt{ab+1} > a + b - 2 \\ \sqrt{bc+1} > b + c - 2 \\ \sqrt{ca+1} > c + a - 2 \end{cases}\)

=>\(\sqrt{ab+1} + \sqrt{bc+1} + \sqrt{ca+1} > (a + b - 2) + (b + c - 2) + (c + a - 2)\)

=>\(\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ca+1}>2(a+b+c)-6\quad(1)\)

\([2(a + b + c) - 6] - (a + b + c) = a + b + c - 6\) >=3+3+3-6=3

=>\(2(a + b + c) - 6 > a + b + c \quad (2)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ca+1}>a+b+c\) (ĐPCM)

đơn giản :)

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\) với \(x;y;z>0\Rightarrow xyz=1\)

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)

\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xyz}{yz+z+xyz}+\dfrac{y}{xyz+xy+y}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xy}{y+1+xy}+\dfrac{y}{1+xy+y}\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)