\(x^2-3x-4\le0\)

=>(x-4)(x+1)<=0

=>-1<=x<=4

\(x^2 - 3\vert{}x\vert{}x - m^2 + 6m \ge 0\) (2)

TH1: x>=0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot x\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(-2x^2-m^2+6m\ge0\)

=>\(2x^2\le6m-m^2\)

Để bất phương trình này có nghiệm x>=0 thuộc đoạn [-1; 4] thì vế phải phải lớn hơn hoặc bằng 0

=>\(6m-m^2\ge0\)

=>\(m\left(m-6\right)\le0\)

=>0<=m<=6

=>\(0 \le x \le \sqrt{\frac{6m - m^2}{2}}\)

Để hệ có nghiệm trong trường hợp này, giao của \(S_1=\left\lbrack-1;4\right\rbrack\) và tập nghiệm của bất phương trình thứ hai phải khác rỗng,

=>Cần tồn tại ít nhất một nghiệm \(x \in [0; 4]\) thỏa mãn\(2x^2\le6m-m^2\)

mà điều này luôn đúng khi \(6m - m^2 \ge 0\) (vì khi đó x = 0 luôn thỏa mãn).

Do đó, điều kiện từ trường hợp này là: 0<=m<=6

TH2: x<0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot\left(-x\right)\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(4x^2\ge m^2-6m\)

\(4x^2\ge0\forall x\)

=>Nếu \(m^2-6m\le0\) thì bất phương trình luôn đúng với mọi x<0

=>m(m-6)<=0

=>0<=m<=6

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\mx+1-m\le0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2\\x\le\dfrac{-1+m}{m}\end{matrix}\right.\)

để hpt trên có nghiệm thì \(\dfrac{-1+m}{m}\le2\) ĐK m ≠ 0

\(< =>m\ge-1\)

Vậy .....

\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) \(\Rightarrow D_1=\left[1;2\right]\)

Xét \(mx\le m-1\)

- Với \(m=0\) BPT vô nghiệm

- Với \(m>0\Leftrightarrow x\le\dfrac{m-1}{m}\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;\dfrac{m-1}{m}]\)

Hệ có nghiệm khi \(D_1\cap D_2\ne\varnothing\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\ge1\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

- Với \(m< 0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{m-1}{m}\Rightarrow D_2=[\dfrac{m-1}{m};+\infty)\)

\(D_1\cap D_2\ne\varnothing\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\le2\)

\(\Leftrightarrow m-1\ge2m\Rightarrow m\le-1\)

Vậy \(m\le-1\)

\(x^2-5x+4\le0\)

=>(x-1)(x-4)<=0

=>1<=x<=4

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x^2-2x-\left(m^2+1\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)-\left(m^2+1\right)\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left\lbrack x-\left(m^2+1\right)\right\rbrack\)

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

=>\((x - 2)(x - (m^2 + 1)) \le 0\)

TH1: \(m^2+1=2\)

=>(x-2)(x-2)<=0

=>x=2

=>S=[1;4]\(\cap\) {2}={2}

=>Loại

TH2: \(m^2+1>2\)

=>\(m^2>1\)

=>m>1 hoặc m<-1

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>2<=x<=\(m^2+1\)

=>S=[1;4]\(\cap\) [2;\(m^2+1\) ]

Để đoạn giao nhau có độ dài bằng 1 thì \(\left(m^2+1\right)-2=1\)

=>\(m^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m=\sqrt2\left(nhận\right)\\ m=-\sqrt2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH3: \(m^2+1<2\)

=>\(m^2<1\)

=>-1<m<0

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>\(m^2+1\le x\le2\)

Độ dài của tập nghiệm là: \(2 - (m^2 + 1) = 1 - m^2\)

Theo đề, ta có: \(1-m^2=1\iff m^2=0\iff m=0\) (nhận)

`x^2-1<=0`

`<=>x^2<=1`

`<=>-1<=x<=1`

`x-m>0<=>x>m`

PT có nghiệm

`=>m>=-1`

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)

Xét \(-x^2+2x+3\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

Xét \(x+2m-1>0\Leftrightarrow x>-2m+1\)

Hệ đã cho có nghiệm với mọi m (đều chứa khoảng dương vô cùng)

\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x>-2m+1\end{matrix}\right.\)

 để pt ....thì \(-2m+1< 3\)

<=>\(-2m< 2\)

<=> \(m>1\)

vậy pt .....

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(\Delta'=m^2+2m+1-4m-4=m^2-2m-3< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 3\)

`3x^2-x-4<=0`

`<=>(x+1)(3x-4)<=0`

`<=>-1<=x<=4/3`

`2x+m<0<=>2x<-m`

PT vô nghiệm

`=>2x<-m<-2`

`<=>m>2`