ĐK: \(x\ge0\)

Với \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}>0\)nên bpt \(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+2\right)}\ge\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\ge x^3+3x^2+4x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+2x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-1\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+1\right)}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.dox\ge0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

ĐKXĐ: x>=2

Ta có: \(\sqrt[3]{3-x} \ge 1 - \sqrt{x-2}\)

=>\(\sqrt[3]{3-x} + \sqrt{x-2} \ge 1\)

Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{3-x}+\sqrt{x-2}\)

Xét hàm số f(x) trên txđ [2;+∞)

\(f(2) = \sqrt[3]{3-2} + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1\)

Khi x>2 thì ta có:

hàm số \(g(x) = \sqrt[3]{3-x}\) nghịch biến trên R vì 3-x giảm khi x tăng

Hàm số \(h(x) = \sqrt{x-2}\) đồng biến khi x>2

\(f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\)

TH1: 2<=x<=3

2<=x<=3

=>0<=x-2<=1

=>\(\sqrt{x-2}\le1\)

=>\(\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\ge\frac12\)

2<=x<=3

=>-2>=-x>=-3

=>-2+3>=-x+3>=-3+3

=>0<=-x+3<=1

=>\(\left(3-x\right)^2\le1\)

=>\(3\sqrt[3]{(3-x)^2}\le3\implies\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}\ge\frac{1}{3}\)

Khi x=3 thì \(f(3) = \sqrt[3]{0} + \sqrt{1} = 1 \ge 1\)

f(2)=1; f(3)=1

x>=2

=>x-2>=0

=>\(\sqrt{x-2}\ge0\)

x<=3

=>x-3<=0

=>3-x>=0

=>\(\sqrt[3]{3-x}\ge0\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{3-x}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0\)

=>\(a^3+b^2=3-x+x-2=1\)

Ta có: \(0\le a\le1;0\le b\le1\)

=>\(a\ge a^3;b\ge b^2\)

=>\(a+b\ge a^3+b^2=1\)

=>f(x)>=1∀x∈[2;3](1)

TH2: x>3

x>3

=>x-2>1

=>\(\sqrt{x-2}>1\)

x>3

=>3-x<0

=>\(\sqrt[3]{3-x}<0\)

Đặt t=x-3(Điều kiện: t>0)

=>x-2=t+1

Khi x=11 thì t=11-3=8

\(f(11) = \sqrt[3]{3-11} + \sqrt{11-2} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{9} = -2 + 3 = 1\)

Xét phương trình f(x)=1 trên khoảng (3;+∞)

\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}=0\)

=>\(3\sqrt[3]{(x-3)^2}=2\sqrt{x-2}\)

=>f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng (3;+∞)

Vì f'(x) đổi dấu đúng một lần nên f(x) đạt cực đại trên khoảng (3;+∞)

f(3)=1; f(11)=1

=>f(x)>1 trên khoảng (3;11]

Với x>11 thì f(x)>1

Do đó: Khi 3<x<=11 thì f(x)>=1(2)

Từ (1),(2) suy ra f(x)>=1 khi 2<=x<=11

ĐKXĐ: \(\begin{cases}2-x>0\\ \left|x+1\right|-3<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ \left|x+1\right|<>3\end{cases}\)

=>x<2 và x+1∉{3;-3}

=>x<2 và x∉{2;-4}

=>x<2 và x<>-4

\(\dfrac{x^2-3x-3}{3-2x}\ge1\\ \Leftrightarrow x^2-3x-3\ge3-2x\\ \Leftrightarrow x^2-3x+2x-3-3\ge0\\ \Leftrightarrow x^2-x-6\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\x-3\ge3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ge3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2\le0\\x-3\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2\\x\le3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le2\end{matrix}\right.\)

Điều kiện \(x^2-2x\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) khi đó :

Bất phương trình \(\Leftrightarrow3^{\sqrt{x^2-2x}}\ge\left(3\right)^{\sqrt{\left(x-1\right)^2}-x}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}\ge\left|x-1\right|-x\)

- Khi \(x\ge2\Rightarrow x-1>0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge-1\) đúng với mọi \(x\ge2\)

- Khi \(x\le0\Rightarrow x-1< 0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge1-2x\)

                                                                 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x\ge1-4x+4x^2\\x\le0\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = [2;\(+\infty\) )

a/ \(2x^2-3x+1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b/ \(-3x^2+2x+1< 0\Rightarrow-\frac{1}{3}< x< 1\)

c/ \(\frac{x+3}{x-2}\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

d/ \(\frac{2x+1}{x+2}\ge1\Leftrightarrow\frac{2x+1}{x+2}-1\ge0\Leftrightarrow\frac{x-1}{x+2}\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x< -2\end{matrix}\right.\)

e/ \(\frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}\le0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-\sqrt{x}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x>4\)

g/\(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left[{}\begin{matrix}x\ge9\\x< 4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\0\le x< 4\end{matrix}\right.\)

h/ \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{3}< 0\Rightarrow\frac{2\left(\sqrt{x}-4\right)}{3\left(\sqrt{x}-1\right)}< 0\Rightarrow1< x< 16\)

a: ĐKXĐ: 2-|x-2|>=0

=>|x-2|<=2

=>-2<=x-2<=2

=>0<=x<=4

TH1: 0<=x<2

=>x-2<0

mà \(\sqrt{2-\left|x-2\right|}>=0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(\sqrt{2-\left|x-2\right|}\) >x-2 với mọi x thỏa mãn

=>NHận

=>0<=x<2

TH2: 2<=x<=4

\(\sqrt{2-\left|x-2\right|}>x-2\)

=>\(2-\left|x-2\right|\ge\left(x-2\right)^2\)

=>\(\left(x-2\right)^2\le2-\left(x-2\right)=2-x+2=4-x\)

=>\(x^2-4x+4\le4-x\)

=>\(x^2-3x\le0\)

=>x(x-3)<=0

=>0<=x<=3

=>2<=x<=3

Vậy: 0<=x<=3

b: \(x^2+3x+2\ge2\cdot\sqrt{x^2+3x+5}\)

=>\(x^2+3x+5-2\sqrt{x^2+3x+5}-3\ge0\)

=>\(\left(\sqrt{x^2+3x+5}-3\right)\left(\sqrt{x^2+3x+5}+1\right)>=0\)

=>\(\sqrt{x^2+3x+5}-3\ge0\)

=>\(\sqrt{x^2+3x+5}\ge3\)

=>\(x^2+3x+5\ge9\)

=>\(x^2+3x-4\ge0\)

=>(x+4)(x-1)>=0

=>x>=1 hoặc x<=-4