Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}=6\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow VT=a+b\ge\frac{2\sqrt{ab}\cdot6\sqrt{ab}}{9+ab}=\frac{12ab}{9+ab}=VP\)

Bài 2: 

a)\(\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\)

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\le3\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\sqrt[3]{b^2c^2}\le\frac{1}{3}\left(bc+b+c\right)\). Tương tự r` cộng theo vế ta có ĐPCM

b)\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}b\sqrt[3]{a^2}\)

\(\ge a-\frac{2}{3}b\frac{\left(a+a+1\right)}{3}=a-\frac{2b}{9}-\frac{4ab}{9}\)

Vậy \(VT\ge a+b+c-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{4}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge\frac{7}{3}-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{27}=1=VP\)

thắng đánh máy mấy bài này có mỏi tay ko

BĐT cần  chứng minh tương đương với :

\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :

\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)

tương tự :  \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)

Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :

\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

mong các thầy cô giúp em giải bài này với ạ

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\((a + b + c)^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 3 \cdot 3 = 9\)

=>a+b+c<=3(1)

\(3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = (a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)\)

Theo BĐT Am-Gm, ta có:

\(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \le \frac{(ab + bc + ca)^2}{3}\)

=>\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le\frac{9}{3}=3\)

=>\(3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \le 3(a + b + c)\)

\(\implies a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \le a + b + c \quad (2)\)

Theo bđt Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\text{VT} = \frac{1}{1+a^2b^2} + \frac{1}{1+b^2c^2} + \frac{1}{1+c^2a^2} \ge \frac{(1 + 1 + 1)^2}{(1 + a^2b^2) + (1 + b^2c^2) + (1 + c^2a^2)}\)

=>\(VT\ge\frac{9}{3 + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)}\)

=>\(VT\ge\frac{9}{3+\left(a+b+c\right)}\)

=>\(\text{VT} \ge \frac{9}{3 + a + b + c} \ge \frac{9}{2(a + b + c)}\) (ĐPCM)

\(P=\dfrac{4a^2}{4b+2c}+\dfrac{4b^2}{4a+2c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{8a+8b+4c}\)

\(=\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{4\left(2a+2b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)