Ta có:

\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)

Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)       (1)

Mặt khác:

\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)

\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)

Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)

Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)

\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).

+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\) 

+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).

Không tồn tại n > 2 thoả mãn

Vậy...

Ta có: 

\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow n,k\ge2\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}n^3-n-1>1,n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{cases}}\) trong đó \(\hept{\begin{cases}r\ge s\ge0\\r+s=k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)          (1)

Mặt khác :

\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)

\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\)        (2)

Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=5\\k=2\end{cases}}\)

Vậy bộ số cần tìm là (n,k,p)=(2,2,5)

Toán lớp 6Phân tích thành thừa số nguyên tố

Đinh Tuấn Việt 20/05/2015 lúc 22:51

Theo đề bài ta có: 

 a = p₁^m . p₂ⁿ $\Rightarrow$⇒ a³ = p₁^3m . p₂³ⁿ.

Số ước của a³ là (3m + 1).(3n + 1) = 40 (ước)

$\Rightarrow$⇒ m = 1 ; n = 3 hoặc m = 3 ; n = 1

Số a² = p₁^2m . p₂²ⁿ có số ước là [(2m + 1) . (2n + 1)] (ước)

-Với m = 1 ; n = 3 thì a² có (2.1 + 1) . (2.3 + 1) = 3 . 7 = 21 (ước)

-Với m = 3 ; n = 1 thì a² có (2.3 + 1) . (2.1 + 1) = 7 . 3 = 21 (ước)

                                                   Vậy a² có 21 ước số.

 Đúng 4 Yêu Chi Pu đã chọn câu trả lời này.

nguyên 24/05/2015 lúc 16:50

Theo đề bài ta có: 

 a = p₁^m . p₂ⁿ $$

 a³ = p₁^3m . p₂³ⁿ.

Số ước của a³ là (3m + 1).(3n + 1) = 40 (ước)

$$

 m = 1 ; n = 3 hoặc m = 3 ; n = 1

Số a² = p₁^2m . p₂²ⁿ có số ước là [(2m + 1) . (2n + 1)] (ước)

-Với m = 1 ; n = 3 thì a² có (2.1 + 1) . (2.3 + 1) = 3 . 7 = 21 (ước)

-Với m = 3 ; n = 1 thì a² có (2.3 + 1) . (2.1 + 1) = 7 . 3 = 21 (ước)

                                                   Vậy a² có 21 ước số.

 Đúng 0

Captain America

Có 21 ước

Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.

Chứng minh:

Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.

Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).

Khi đó:

\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)

Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy \(n\) là số lẻ.

Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).

Ta có:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).

Cách phân tích phù hợp là:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:

\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.

Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.

Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).

Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).

Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:

\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)

Hay \(d\mid 2^{2013}\).

Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).

Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.

Suy ra \(d=1\).

Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)

1

gọi số cần tìm là p.dễ thấy p lẻ

=>p=a+2 và p=b-2

=>a=p-2 và b=p+2

vì p-2,p,p+2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

với p-2=3=>p=5=7-2(chọn)

p=3=>p=1+2(loại)

p+2=3=>p=1(loại)

vậy p=5

2

vì p1, p2, p3 là 3 số nguyên tố (SNT) > 3 
theo giả thiết: 
p3 = p2 + d = p1 + 2d (*) 
=> d = p3 - p2 là số chẵn ( vì p3, p2 lẻ) 
đặt d = 2m, xét các trường hợp: 
* m = 3k => d chia hết cho 6 
* m = 3k + 1: khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 2 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 4 
do p1 là SNT > 3 nên p1 chia 3 dư 1 hoặc 2 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p2 = p1 + 6k + 2 chia hết cho 3 => p2 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p1 chia 3 dư 2 => p3 = p1 + 12k + 4 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (---nt--) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 1 
* m = 3k + 2, khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 4 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 8 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p3 = p1 + 12k + 8 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p 1 chia 3 dư 2 => p2 = p1 + 6k + 4 chia hết cho 3 => p2 là hợp số ( không thỏa gt) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 2 
vậy để p1, p 2, p 3 đồng thời là 3 SNT thì m = 3k => d = 2m = 6k chia hết cho 6.

3

ta có p,p+1,p+2 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.

mà p,p+2 là SNT >3 nên p,p+2 ko chia hết cho 3 và là số lẻ

=>p+1 chia hết cho 3 và p+1 chẵn=>p+1 chia hết cho 6

4

vì p là SNT >3=>p=3k+1 hoặc p=3k+2

với p=3k+1=>p+8=3k+9 chia hết cho 3

với p=3k+2=>p+4=3k+6 ko phải là SNT

vậy p+8 là hợp số

5

vì 8p-1 là SNt nên p>3=>8p ko chia hết cho 3

vì 8p,8p+1,8p-1 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.mà 8p,8p-1 là SNT >3=>8p+1 chia hết cho 3 và 8p+1>3

=>8p+1 là hợp số

6.

Ta có: Xét:

+n=0=>n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)

+n=1

=>n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)

+n=2

=>n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)

+n=3

=>n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)

+n=4

n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)

+n=4k+2

=>n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)

+n=4k+3

=>n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)

⇔n=4

4.vì p là số nguyên tố >3

nên p có dạng 3k+1;3k+2

xét p=3k+1 ta có :p+4=(3k+1)+4=3k+5(thỏa mãn)

xét p=3k+2 ta có: p+4=(3k+2)+4=3k+6 chia hết cho 3(trái với đề bài)

vậy p+8=(3k+1)+8=3k+9 chia hết cho 3

Vậy p+8 là hợp số

khó quá khó tìm,k đi!!!!!