\(x^3+y^3=5+x^2y+xy^2\Rightarrow x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2=5\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\5>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y>0\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\in N\\\left(x-y\right)^2< 5\end{matrix}\right.\) và \(\left(x-y\right)^2\) là số chính phương

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(pt< =>\left(x-y\right)^2+xy=\left(x-y\right)\left(xy+2\right)+9\)

\(< =>\left(y-x\right)\left(xy+2+y-x\right)+xy+2+y-x-\left(y-x\right)=11\)

\(< =>\left(y-x+1\right)\left(xy+2+y-x\right)-\left(y-x+1\right)=10\)

\(< =>\left(x-y+1\right)\left(x-y-1-xy\right)=10\)

đến đây giải hơi bị khổ =))

1: Đặt S=x+y; P=xy

\(3\left(x^2-xy+y^2\right)=7\left(x+y\right)\)

=>\(3(S^2-3P)=7S\)

=>\(9P=3S^2-7S\)

=>\(P = \frac{3S^2 - 7S}{9}\)

x,y là các số nguyên

=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=>\(S^2\ge4P\)

=>\(S^2-4P\ge0\)

=>\(S^2-4\cdot\frac{3S^2 - 7S}{9}\ge0\)

=>\(9S^2-12S^2+28S\ge0\)

=>\(-3S^2+28S\ge0\)

=>0<=S<=28/3

S∈Z; 9P=S(3S-7)

=>S⋮9

=>S=0 hoặc S=9

TH1: S=0

\(P=\frac{3\cdot0^2-7\cdot0}{9}=0\)

Do đó, ta có: x+y=0 và xy=0

=>x=y=0

TH2: S=9

=>\(P=\frac{3\cdot9^2-7\cdot9}{9}=\frac{3\cdot81-63}{9}=\frac{9\cdot\left(3\cdot9-7\right)}{9}=20\)

Do đó: x+y=9 và xy=20

=>(x;y)∈{(4;5);(5;4)}

Áp dụng bất đẳng thức x2+y2≥2xyx2+y2≥2xy nên ta có x2+y2+xy≥3xyx2+y2+xy≥3xy
Mà x2+y2+xy=x2y2≥0x2+y2+xy=x2y2≥0 nên suy ra x2y2+3xy≤0⟺−3≤xy≤0x2y2+3xy≤0⟺−3≤xy≤0
Vì x,yx,y nguyên nên xyxy nguyên, vậy nên xy∈{−3,−2,−1,0}xy∈{−3,−2,−1,0}
Trường hợp xy=−3xy=−3 ta tìm được các nghiệm (−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)(−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)
Trường hợp xy=−2xy=−2 ta tìm được các nghiệm (−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)(−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)
Trường hợp xy=−1xy=−1 ta tìm được các nghiệm (−1,1),(1,−1)(−1,1),(1,−1)
Trường hợp xy=0xy=0 ta tìm được nghiệm (0,0)(0,0)
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm (0,0),(1,−1),(−1,1)(0,0),(1,−1),(−1,1) thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm

5 cách ở đây luôn nhá(của mình với anh Incursion_03):Câu hỏi của Vinh Lê Thành - Toán lớp 8